Ответ:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k или x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # для целого числа # К. #
Объяснение:
Я разработал это двумя разными способами, но я думаю, что третий способ лучше. Есть несколько формул двойного угла для косинуса. Давайте не будем искушаться ни одним из них. Давайте также избежим возведения в квадрат уравнений.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
Линейная комбинация косинуса и синуса представляет собой сдвинутый по фазе косинус.
Позволять # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # а также
# theta = text {Arc} text {tan} (2/1) #
Я указал главный обратный тангенс, здесь, в первом квадранте, около # Тета = 63,4 ^ CIRC #, Мы уверены
#r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Таким образом, мы можем переписать наше уравнение
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}), потому что 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = sin (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
Всегда помните общее решение #cos x = cos a # является # x = pm a + 360 ^ circ k quad # для целого числа # К #.
# 2x - тета = pm (90 ^ цирк + тета) + 360 ^ цирк к #
# 2x = тета pm (90 ^ цирк + тета) + 360 ^ цирк к #
# x = тета / 2 pm (45 ^ цирк + тета / 2) + 180 ^ цирк к #
Принимая знаки по одному, # x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k или x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # константа, для которой мы можем попытаться получить лучшее выражение для:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1-tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
Мы знаем # Фита # находится во втором квадранте, а не в обычном диапазоне основного значения.
#phi = text {Arc} text {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Оказывается, это не имеет значения, потому что мы добавляем # 180 ^ Cir K # в # Фита # в общем случае все равно. Собираем все вместе, # x = arctan (-3) + 180 ^ circ k или x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
Мы не должны быть дотошными в отношении главной ценности арктана; так как мы добавляем # 180 ^ Cir K # подойдет любое значение. Мы могли бы написать первый # Х = агс (-3) # с # 180 ^ Cir K # подразумевается, но давайте оставим это здесь.
