Как вы пишете полином с функцией минимальной степени в стандартной форме с действительными коэффициентами, чьи нули включают -3,4 и 2-я?

Ответ:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) # с #aq в RR #.

Объяснение:

Позволять #П# быть полиномом, о котором вы говорите. Я предполагаю #P! = 0 # или это было бы тривиально.

P имеет действительные коэффициенты, поэтому #P (alpha) = 0 => P (baralpha) = 0 #, Это означает, что есть другой корень для P, #bar (2-i) = 2 + i #следовательно, эта форма для #П#:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # с #a_j в NN #, #Q в RR X # а также #a в RR # потому что мы хотим #П# иметь реальные коэффициенты.

Мы хотим степень #П# быть как можно меньше. Если #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X - 2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # затем #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = сумма (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # так #deg (Q)> = 0 #, Если мы хотим #П# иметь как можно меньшую степень, тогда #deg (Q) = 0 # (# Q # это просто реальное число # Д #) отсюда #deg (P) = deg (R) # и здесь мы можем даже сказать, что #P = R #. #deg (Р) # будет как можно меньше, если каждый #a_j = 0 #, Так #deg (P) = 4 #.

Итак, пока #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) q #, Давайте развивать это.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) в ОР X #, Так что это выражение лучшее #П# мы можем найти с этими условиями!