Когда вы используете формулу Герона, чтобы найти область?

Вы можете использовать его, когда знаете длину всех трех сторон треугольника.

Я надеюсь, что это было полезно.

Ответ:

Формула Герона - почти всегда неправильная формула для использования; попробуй теорему Архимеда для треугольника с площадью # A # и стороны # А, б, в #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # где # S = 1/2 (а + Ь + с) #

Это последняя тонко завуалированная цапля.

Объяснение:

Герой Александрии написал в первом веке нашей эры. Почему мы продолжаем мучить студентов его результатом, когда есть намного более хорошие современные эквиваленты, я понятия не имею.

Формула Герона для области # A # треугольника с гранями # А, б, в # является

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # где # S = 1/2 (а + Ь + с) # это полупериметр.

Нет сомнений, что эта формула потрясающая. Но это неудобно использовать из-за дроби и, если мы начнем с координат, четырех квадратных корней.

Давайте просто посчитаем. Мы квадрат и исключаем # S # который в основном служит, чтобы скрыть #16# и важная факторизация. Возможно, вы захотите попробовать сами.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Это уже намного лучше, чем у Герона. Мы сохраняем дробь до конца, и больше не стоит задумываться о значении полупериметра.

Вырожденный случай говорит о многом. Когда один из этих факторов со знаком минус равен нулю, то две стороны суммируют ровно другую сторону. Это расстояния между тремя коллинеарными точками, вырожденным треугольником, и мы получаем нулевую площадь. Имеет смысл.

# A + B + C # фактор интересный. Это говорит нам о том, что эта формула все еще работает, если мы используем смещения, длины со знаком вместо всех положительных.

Формула все еще неудобно использовать заданные координаты. Давайте умножим это; Вы можете попробовать это сами;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Эта форма зависит только от квадратов длин. Это явно полностью симметрично. Теперь мы можем выйти за пределы Героны и сказать, квадрат длины рациональны, как и квадрат.

Но мы можем сделать лучше, если мы заметим

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Вычитание,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Это самая красивая форма.

Есть асимметричная форма, которая обычно наиболее полезна. Мы заметили

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Добавление этого к

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Это самая полезная форма. Есть действительно три способа написать это, поменять местами.

В совокупности они называются теоремой Архимеда из рациональной тригонометрии Н. Дж. Вильдбергера.

Когда даны 2D координаты, часто формула Шнурка - самый быстрый путь к области, но я сохраню это для других постов.