Решить дифференциальное уравнение: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y? Обсудите, что это за дифференциальное уравнение и когда оно может возникнуть?

Ответ:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Объяснение:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y #

лучше всего написано как

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 квадратный треугольник #

который показывает, что это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

это имеет характеристическое уравнение

# r ^ 2 8 r + 16 = 0 #

который можно решить следующим образом

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

это повторный корень, поэтому общее решение в форме

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

это не колеблющееся и моделирует какое-то экспоненциальное поведение, которое действительно зависит от значения A и B. Можно предположить, что это может быть попытка смоделировать взаимодействие популяции или хищника / жертвы, но я не могу сказать что-то очень конкретное.

это показывает нестабильность, и это все, что я мог бы сказать об этом

Ответ:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Объяснение:

Дифференциальное уравнение

# (Д ^ 2y) / (дх ^ 2) -8 (ау) / (ах) + 16Y = 0 #

является линейным однородным уравнением постоянного коэффициента.

Для этих уравнений общее решение имеет структуру

#y = e ^ {lambda x} #

Подставляя мы имеем

# e ^ {lambda x} (лямбда ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Вот # e ^ {lambda x} ne 0 # поэтому решения должны подчиняться

# лямбда ^ 2-8lambda + 16 = (лямбда-4) ^ 2 = 0 #

Решая получим

# Lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Когда корни повторяются, # d / (d лямбда) e ^ {lambda x} # также решение. В случае # П # Корни повторяются, мы будем иметь в качестве решения:

#C_i (d ^ i) / (d лямбда ^ i) e ^ {лямбда x} # за # = 1,2, cdots, п #

Итак, для поддержания количества начальных условий мы включаем их в качестве независимых решений.

В этом случае мы имеем

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

что приводит к

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Эти уравнения появляются при моделировании линейных систем с сосредоточенными параметрами, подобных тем, которые можно найти в теории линейных цепей или в линейной механике. Эти уравнения обычно обрабатываются с использованием операционных алгебраических методов, таких как методы преобразования Лапласа