Каково приблизительное значение sqrt {107}?

Ответ:

#sqrt (107) ~~ 31/3 ~~ 10.33 #

Объяснение:

Обратите внимание, что:

#10^2 = 100#

#11^2 = 121#

#107# это точно #1/3# пути между #100# а также #121#.

То есть:

#(107-100)/(121-100) = 7/21 = 1/3#

Таким образом, мы можем линейно интерполировать между #10# а также #11# найти:

#sqrt (107) ~~ 10 + 1/3 (11-10) = 10 + 1/3 = 31/3 ~~ 10.33 #

(Для линейно интерполировать в этом примере аппроксимировать кривую параболы графа # У = х ^ 2 # между #(10, 100)# а также #(11, 121)# по прямой линии)

бонус

Для большей точности мы можем использовать:

#sqrt (a ^ 2 + b) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))) #

Ввод # А = 31/3 # мы хотим:

#b = 107- (31/3) ^ 2 = 963/9 - 961/9 = 2/9 #

Затем:

#sqrt (107) = 31/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3 + …))) #

Итак, в качестве первого шага улучшения:

#sqrt (107) ~~ 31/3 + (2/9) / (62/3) = 31/3 + 1/93 = 962/93 ~~ 10.3441 #

Если мы хотим большей точности, используйте больше терминов:

#sqrt (107) ~~ 31/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3)) = 31/3 + (2/9) / (62/3 + 1/93) = 31/3 + (2/9) / (1923/93) = 31/3 + 62/5769 = 59675/5769 ~~ 10,34408043 #