Что такое волновая функция и каковы требования для ее правильного поведения, то есть для того, чтобы она правильно представляла физическую реальность?

Ответ:

Волновая функция - это комплексная функция, амплитуда (абсолютная величина) которой дает распределение вероятностей. Однако он не ведет себя так же, как обычная волна.

Объяснение:

В квантовой механике мы говорим о состоянии системы. Одним из простейших примеров является частица, которая может находиться в движении вверх или вниз, например электрон. Когда мы измеряем вращение системы, мы либо измеряем его, чтобы он был вверх или вниз. Состояние, в котором мы уверены в результате измерения, мы называем собственным состоянием (одно верхнее состояние # Uarr # и один вниз состояние # Дарр #).

Существуют также состояния, в которых мы не уверены в результатах измерения, прежде чем мы его измерим. Эти состояния мы называем суперпозицией, и мы можем записать их как # А * uarr + б * Дарр #, Здесь мы имеем # | | ^ 2 # вероятность измерения # Uarr #, а также # | Б | ^ 2 # вероятность измерения # Дарр #, Это значит конечно что # | | ^ 2 + | б | ^ 2 = 1 #, Мы разрешаем # А, б # чтобы быть комплексными числами, причина этого не сразу ясна из этого примера, но в контексте волновой функции это будет более ясно. Суть в том, что существует больше состояний, чем одно, что дает одинаковые вероятности для измерения спинов.

Теперь мы можем попытаться присвоить функцию этому состоянию вращения. Поскольку есть только два результата измерения вращения, у нас есть функция, которая имеет только два возможных входа. Если мы вызываем функцию # Пси # (это очень условный символ, используемый для волновой функции), мы устанавливаем #psi (uarr) = а # а также #psi (Дарр) = B #.

Теперь перейдем к волновой функции. Одним из аспектов частицы, конечно же, является ее местоположение. Как и в случае вращения, мы можем измерять различные значения для местоположения, и у нас могут быть состояния, в которых результат измерения не зафиксирован заранее. Так как у нас есть бесконечное количество мест, где может находиться частица, записываем это состояние как # А * "здесь" + б * "там" # не буду делать Тем не менее, идея функции, которую мы использовали выше, делает. Так что для любого места #Икс#у нас сложная ценность #psi (х) #, Функция плотности вероятности частицы теперь определяется как # | Пси (х) | ^ 2 #.

Справедливости ради, исторически идея волновой функции старше идеи вращения, но я думаю, что понимание идеи вращения в определенной степени помогает в понимании волновой функции.

Прежде всего, почему ценится комплекс волновых функций? Первая причина может быть найдена в идее вмешательства. Волновая функция частицы может мешать самой себе. Эта интерференция связана с суммированием волновых функций: если волновые функции дают одинаковое абсолютное значение в определенной точке, то вероятность измерения частицы вокруг этой точки аналогична. Однако значения функций могут быть разными, если они одинаковы, сложение их даст амплитуду или плотность вероятности 4 (#|2|^2#) в разы больше (конструктивное вмешательство), и, если они отличаются знаком, они взаимно отрицают друг друга (разрушительное вмешательство). Однако может также отличаться, например, фактором #я#Это означает, что плотность вероятности становится #2# раз больше в этой точке. Мы знаем, что все эти помехи могут возникнуть. Таким образом, это указывает на сложную волновую функцию, как описано ранее.

Вторая причина может быть найдена в уравнении Шредингера. Первоначально считалось, что эти волновые функции ведут себя так же, как классические волны. Однако, когда Шредингер попытался описать поведение этих волн или, по крайней мере, их эволюцию во времени, он обнаружил, что уравнение, управляющее классическими волнами, не является адекватным. Чтобы это сработало, ему пришлось ввести в уравнение комплексное число, что привело к выводу, что сама функция также должна быть комплексной, а порядок производных в уравнении отличается от классического волнового уравнения.

Эта разница в уравнениях также отвечает на ваш второй вопрос. Поскольку эволюция волновой функции сильно отличается от эволюции классических волн, мы не можем использовать те же методы, которые мы используем в классической волновой физике. Конечно, вы можете использовать геометрические аргументы, но этого будет недостаточно для описания всех явлений в квантовой физике. Кроме того, хотя волновая функция дает много информации о состоянии частицы, она ничего не говорит о ее спине, поскольку вращение и местоположение наблюдаемых имеют мало общего с друг другом.

Возможно, я неправильно истолковываю то, что вы подразумеваете под геометрической природой. Не могли бы вы привести пример того, что вы имеете в виду. Возможно, тогда я смогу помочь тебе дальше.

волновая функция представляет состояние квантово-механической системы, такой как атом или молекула.

Это может быть представлено как # Пси #, не зависит от времени волновая функция, или # Пси #, в зависимости от времени волновая функция.

Поскольку волна Функция, очевидно, представляет собой систему, которая ведет себя как волна (не случайно это называется волна функция!), мы обычно ожидаем неограниченный волновая функция не имеет границ. Учитывайте тот факт, что # SiNx # а также # Cosx #две функции, которые явно являются волнами, имеют области # (- оо, оо) #.

ПРИМЕР: ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ ОРБИТАЛ

Однако, давайте возьмем орбитали для примера. Там должно быть множество граничные условия для орбитали, потому что, очевидно, орбитали не бесконечно велики.

Волновая функция может изображать линейная комбинация атомных орбиталей сформировать молекулярные орбитали:

#color (blue) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = цвет (синий) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +…) #

где # C_i # это коэффициент расширения указание вклада каждой атомной орбитали в конкретную молекулярную орбиту, о которой идет речь, и # Phi_i ^ "АО" # это экспериментальная / пробная волновая функция для каждой атомной орбиты.

Поскольку волновая функция должна представлять орбиталь, она должна иметь положительный радиус (#r> 0 #) и волновая функция должна быть не замужем значный, закрыто , непрерывный , ортогональный ко всем связанным волновым функциям, и нормируемой .

Другими словами, он должен пройти тест на вертикальную линию, иметь конечную площадь под кривой, не иметь скачков / разрывов / асимптот / разрывов и удовлетворять следующим двум уравнениям:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(интеграл от волновой функции и ее комплексного сопряжения #0# если волновые функции разные)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(интеграл от волновой функции и ее комплексного сопряжения нормирован так, что он равен #1# если волновые функции одинаковы, кроме знака # # PMI)

Одним из примеров уравнения для волновой функции в сферических координатах для атома водорода является:

#color (blue) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = цвет (синий) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Чтобы думать, я действительно потратил время, чтобы нормализовать это. Я даже нашел время, чтобы проверить на ортогональность с двумя другими # 2р # волновые функции.:П

На всякий случай, вот приложение того, что я связал выше в Scratchpads.

#' '#

Нормализация

# 2p_z # Атомно-орбитальная волновая функция:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (тета, фи) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (тета, фи) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(Маккуарри)

Это # 2p_z # волновая действительно нормализуется? ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЕМСЯ!

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (тета, фи) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (green) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (?) (=) 1) #

Теперь, исследуя только радиальную часть, которая является сумасшедшей частью … позвольте начать четырехкратное интегрирование по частям!

ОЦЕНКА РАДИАЛЬНОЙ КОМПОНЕНТА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ

Часть 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

Позволять:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

Часть 2

Позволять:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Часть 3

Позволять:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

Часть 4

Позволять:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (A_0)) др}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0)) др}} #

РАСШИРЕНИЕ / УПРОЩЕНИЕ

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (A_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (A_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / З ^ (- (Zr) / (A_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

ОЦЕНОЧНО-ГОТОВАЯ ФОРМА

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

Первая половина отменяется быть #0#:

# = отмена ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

Вторая половина упрощает быть # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((A_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = отмена (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) отмена ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + отмена (4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + отмена (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + отмена (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Теперь давайте пересмотрим волновую функцию в целом …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

# = 1 / (отмена (32) отмена (pi)) отмена ((Z / a_0) ^ 5) (отмена (16) отмена ((a_0 / Z) ^ 5)) (отмена (2) отмена (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

# цвет (синий) (1 = 1) #

ДА! ОДИН РАВНЫЙ ОДИН! Я имею в виду…

Волновая функция действительно нормализована!: D

Доказательство взаимной ортогональности для 2p волновых функций

Давайте выберем следующие волновые функции:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

Чтобы показать, что они ортогональны, нам нужно показать хотя бы один из них:

#int _ ("все пространство") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

А из индукции мы можем подразумевать все остальное, поскольку радиальные компоненты идентичны. Другими словами:

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (тета) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0) #

#color (green) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Радиальная часть оказывается # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #, Итак, давайте оценим угловые части.

# Тета # часть:

#color (green) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

Позволять:

#u = Синтета #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * грех ^ 3 (пи) - грех ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = цвет (зеленый) (0) #

А теперь # Фита # часть:

#color (green) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = грех (2pi) - грех (0) #

Позволять:

#u = Синтета #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = цвет (зеленый) (0) #

Таким образом, мы имеем в целом:

#color (blue) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = отмена (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = цвет (синий) (0) #

поскольку

#int _ ("все пространство") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

# 2p_z # а также # 2p_x # атомные орбитали ортогональны.

Действительно, главное отличие в использовании # 2p_y # Уравнение в том, что вы вместо этого получите:

#color (green) ("Константы" int_ (0) ^ (oo) "То же самое") dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) stackphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Так что:

#color (blue) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = цвет (синий) (0) #

От умножения #0# другими интегралами, таким образом, весь интеграл исчезает и:

#int _ ("все пространство") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

Таким образом # 2p_x # а также # 2p_y # атомные орбитали ортогональны.

Наконец, для # 2p_y # против # 2p_z #:

#color (green) ("Константы" int_ (0) ^ (oo) "То же самое") dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2 thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) стек стека () 0) #

Мы знаем # Тета # интеграл от до:

# color (blue) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * грех ^ 3 (пи) - грех ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = цвет (синий) (0) #

И поэтому весь интеграл снова исчезает, и действительно # 2p_y # а также # 2p_z # орбитали также ортогональны!