Без графика, как вы решаете, имеет ли следующая система линейных уравнений одно решение, бесконечное число решений или нет решения?

Ответ:

Система # N # линейные уравнения с # N # неизвестные переменные, которые не содержат линейной зависимости между уравнениями (другими словами, его определитель ненулевое) будет иметь одно и только одно решение.

Объяснение:

Рассмотрим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными переменными:

# Ax + By = С #

# Dx + Еу = F #

Если пара # (А, В) # не пропорционально паре # (D, Е) # (то есть такого номера нет # К # тот # D = кА # а также # Е = кБ #, который можно проверить по условию # A * E-B * D! = 0 #) тогда есть одно-единственное решение:

# Х = (С * Е-В * Р) / (А * Е-В * Г) #, # У = (А * Р-С * D) / (А * Е-В * Г) #

пример:

# Х + у = 3 #

# х-2у = -3 #

Решение:

# Х = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# У = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Если пара # (А, В) # пропорционально паре # (D, Е) # (что означает, что есть такой номер # К # тот # D = кА # а также # Е = кБ #, который можно проверить по условию # A * E-B * D = 0 #), есть два случая:

(а) бесконечное число решений, если # C # а также # F # пропорциональны с тем же коэффициентом, что и # A # а также # D #, то есть # F = кс #, где # К # одинаковый коэффициент пропорциональности;

пример:

# Х + у = 3 #

# 2х + 2y = 6 #

Вот # К = 2 # для всех пар: # D = 2A #, # Е = 2B #, # F = 2C #.

Второе уравнение является тривиальным следствием первого (просто умножьте первое уравнение на #2#) и, следовательно, не дает никакой дополнительной информации о неизвестных, сокращая количество уравнений, фактически, до 1.

(б) вообще никаких решений, если #F! = Кс #

пример:

# Х + 4y = 3 #

# 2х + 8y = 5 #

В этом случае уравнения противоречат друг другу, так как, умножив первое на 2, получим уравнение # 2х + 8y = 6 #, который не может иметь общего решения с # 2х + 8y = 5 # поскольку левые части этих двух уравнений равны, а правые части - нет.