Пусть S - квадрат единицы площади. Рассмотрим любой четырехугольник, который имеет одну вершину на каждой стороне S. Если a, b, c и d обозначают длины сторон четырехугольника, докажите, что 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

Позволять # ABCD # быть квадратом единицы площади.

Так # AB = BC = CD = DA = 1 # Блок.

Позволять # ФХЦЧ # быть четырехугольником, который имеет одну вершину на каждой стороне квадрата. Вот пусть # PQ = Ь, QR = с, RS = dandSP = а #

Применяя теорему Пифагора, мы можем написать

# А ^ 2 + B ^ 2 + с ^ 2 + D ^ 2 #

# = Х ^ 2 + у ^ 2 + (1-х) ^ 2 + (1-W) ^ 2 + W ^ 2 + (1-г) ^ 2 + г ^ 2 + (1-у) ^ 2 #

# = 4 + 2 (х ^ 2 + у ^ 2 + г ^ 2 + W ^ 2-х-у-г-ш) #

# = 2 + 2 (1 + х ^ 2 + у ^ 2 + г ^ 2 + W ^ 2-х-у-г-ш) #

# = 2 + 2 ((х-1/2) ^ 2 + (у-1/2) ^ 2 + (г-1/2) ^ 2 + (ш-1/2) ^ 2) #

Теперь по проблеме у нас есть

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

следовательно

# 2 <= а ^ 2 + B ^ 2 + с ^ 2 + й ^ 2 <= 4 #