# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # имеет форму # У ^ 2-2y + 1 # где #y = x ^ 3 #.
Эта квадратичная формула в # У # факторы следующие:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y-1) ^ 2 #
Так # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
Так # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# Х ^ 2 + х + 1 # не имеет линейных факторов с действительными коэффициентами. Чтобы проверить это уведомление, что оно имеет форму # топор ^ 2 + bx + c #, который имеет дискриминант:
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
Будучи отрицательным, уравнение # x ^ 2 + x + 1 = 0 # не имеет настоящих корней.
Один из способов проверить ответ - заменить значение на #Икс# это не корень в обе стороны и посмотрим, получим ли мы один и тот же результат:
Пытаться # Х = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Для сравнения:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
Хорошо, что сработало!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # довольно легко факторизовать, потому что это идеальный квадрат. Откуда я это знаю? Это трином в форме # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #и все триномы в этой форме являются идеальными квадратами.
Этот трином является идеальным квадратом # (x ^ 3 - 1) #, Чтобы проверить свою работу, я буду работать в обратном направлении:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Итак, у этого тринома есть факторы #1#, # x ^ 3 - 1 #, а также # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
Однако, как мне было указано, # (x ^ 3 - 1) # также есть факторы. Так как это бином формы # a ^ 3 - b ^ 3 #, это также может быть записано как # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Так, # (x ^ 3 - 1) # факторы в # (x - 1) # а также # (x ^ 2 + x + 1) #, которые оба просты.
Факторы # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # являются:
#1#
# X-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Более конкретно, ПРЕМЬЕР-факторизация # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # является:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
