Х ^ 4-4x ^ 3 + х ^ 2 + 4x + 1 = 0. Как решить для х?

Ответ:

# Х = (1 + -sqrt5) / 2, х = (3 + -sqrt13) / 2 #

Объяснение:

Поскольку у этой квартики нет рациональных корней (и я не могу быть обеспокоен формулами), мы начнем с использования метода Ньютона для аппроксимации корней:

# х # -0,303 ~~

# х # -0,618 ~~

# х 1,618 # ~~

# х 3,303 # ~~

Из них мы находим, что # х # -0,618 ~~ а также # х 1,618 # ~~ выделяться. Мы признаем это как золотое сечение:

# Х = (1 + -sqrt5) / 2 #

Мы также можем проверить, что они являются корнями, включив их в уравнение, но вы можете просто поверить мне, что они действительно корни.

Это означает, что следующее является фактором уравнения:

# (Х- (1 + sqrt5) / 2) (х- (1-sqrt5) / 2) = #

# = ((Х-1/2) + sqrt5 / 2) ((х-1/2) -sqrt5 / 2) = #

# = (Х-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = х ^ 2-х + 1 / 4-5 / 4 = #

# = Х ^ 2-х-1 #

Так как мы знаем # Х ^ 2-х-1 # является фактором, мы можем использовать полиномиальное длинное деление, чтобы выяснить остаток и переписать уравнение следующим образом:

# (Х ^ 2-х-1) (х ^ 2-3x-1) = 0 #

Мы уже выяснили, когда левый фактор равен нулю, поэтому теперь посмотрим на правый. Мы можем решить квадратичное с помощью квадратной формулы, чтобы получить:

# Х = (3 + -sqrt13) / 2 #