В классе 7 детей. Во сколько способов они могут выстроиться в перерыв?

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

Эта конкретная проблема перестановка, Напомним, разница между перестановками и комбинациями заключается в том, что с перестановками порядок имеет значение. Учитывая, что вопрос спрашивает, сколько способов ученики могут выстроиться в очередь (то есть, сколько разных заказов), это перестановка.

Представьте себе, что на данный момент мы занимаем только две позиции: позицию 1 и позицию 2. Чтобы провести различие между нашими студентами, потому что порядок имеет значение, мы назначим каждому букву от А до G. Теперь, если мы заполняем эти позиции по одному за один раз у нас есть семь вариантов заполнения первой позиции: A, B, C, D, E, F и G. Однако после заполнения этой позиции у нас есть только шесть вариантов для второй, потому что один из студенты уже были размещены.

В качестве примера, предположим, что A находится в положении 1. Тогда нашими возможными ордерами для наших двух позиций являются AB (то есть A в положении 1 и B в положении 2), AC, AD, AE, AF, AG. Однако … это не учитывает все возможные ордера здесь, так как есть 7 вариантов для первой позиции. Таким образом, если бы B находился в положении 1, у нас были бы возможности BA, BC, BD, BE, BF и BG. Таким образом, мы умножаем количество вариантов вместе: #7*6 = 42#

Оглядываясь назад на исходную проблему, можно найти 7 студентов, которые могут быть помещены в позицию 1 (опять же, при условии, что мы заполняем позиции с 1 по 7 по порядку). После того, как позиция 1 заполнена, 6 студентов могут быть размещены в позиции 2. С заполненными позициями 1 и 2, 5 могут быть размещены в позиции 3 и так далее, до тех пор, пока только один студент не будет помещен в последнюю позицию. Таким образом, умножая наши числа вариантов вместе, мы получаем #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

Для более общей формулы, чтобы найти количество перестановок # П # взятые объекты #р# вовремя, без замены (т.е. студент в позиции 1 не возвращается в зону ожидания и становится опцией для позиции 2), мы склонны использовать формулу:

Количество перестановок = # "П!" / "(П-р)!" #.

с # П # количество предметов, #р# количество позиций, которые необходимо заполнить, и #!# символ для факториал, операция, которая действует на неотрицательное целое число # A # такой, что #a! # = #atimes (а-1) раз (а-2) раз (а-3) раза … раз (1) #

Таким образом, используя нашу формулу с исходной задачей, когда у нас 7 учеников, взятых по 7 одновременно (например, мы хотим заполнить 7 позиций), мы имеем

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

Может показаться нелогичным, что #0! = 1#; однако, это действительно так.