Как конвертировать r = 1 / (4 - costheta) в декартову форму?

Ответ:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Объяснение:

Эй, Сократик: Неужели нужно сказать нам, что об этом спросили 9 минут назад? Мне не нравится, когда меня обманывают. Скажите нам, что об этом спросили два года назад, и никто пока не смог этого сделать. Кроме того, что случилось с подозрительно одинаково сформулированными вопросами, заданными из разных мест? Не говоря уже о Санта-Круз, США? Почти наверняка их больше, хотя я слышу один в Калифорнии в хорошем. Достоверность и репутация важны, особенно на сайте домашних заданий. Не вводите людей в заблуждение. Конец разглагольствования.

При преобразовании уравнений из полярных в прямоугольные координаты грубая сила прямоугольной в полярную подстановку

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = text {arctan2} (y "/," x) quad #

редко лучший подход. (Я намеренно указываю здесь четыре обратных касательных квадранта, но не будем отвлекаться.)

В идеале мы хотим использовать полярные и прямоугольные замены, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

Хорошо, давайте посмотрим на вопрос.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Эти полярные уравнения обычно допускают отрицательные #р#но здесь мы уверены #р# всегда позитивно

#r (4 - cos theta) = 1 #

Я думаю, что это эллипсы, которые на самом деле не имеют значения, но дают нам некоторое представление о том, как мы надеемся, что прямоугольная форма будет выглядеть. Мы хотим стремиться к чему-то без квадратных корней или арктангенс # Г = SQRT {х ^ 2 + у ^ 2} # имеет квадратные корни, но #rcos theta = x # нет, поэтому мы расширяемся.

# 4r - rcos theta = 1 #

Теперь мы просто заменим; мы сделаем это поэтапно.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Давай возведем в квадрат сейчас. Мы знаем Нг> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Это довольно круглый эллипс. (Меньшая константа, чем #4# в оригинале получился бы более эксцентричный эллипс.) Мы могли бы завершить квадрат, чтобы привести его в стандартную форму, но давайте оставим это здесь.