Найти диапазон функции f (x) = (1+ x ^ 2) / x ^ 2?

Ответ:

#f (A) = (1, + oo) #

Объяснение:

#f (х) = (х ^ 2 + 1) / х ^ 2 #, #A = (- оо, 0) уу (0, + оо) #

#f '(х) = ((х ^ 2 + 1) х ^ 2 (х ^ 2)' (х ^ 2 + 1)) / х ^ 4 = #

# (2x ^ 3-2x ^ 3-2x) / х ^ 4 = #

# -2 / х ^ 3 #

За #x> 0 # у нас есть #f '(х) <0 # так # Е # строго уменьшается в # (0, + оо) #

За #x <0 # у нас есть #f '(х)> 0 # так # Е # строго увеличивается в # (- оо, 0) #

# A_1 = (- оо, 0) #, # А_2 = (0, + оо) #

#lim_ (xrarr0 ^ (-)) Р (х) = lim_ (xrarr0 ^ (-)) (х ^ 2 + 1) / х ^ 2 = + оо #

#lim_ (xrarr0 ^ (+)) Р (х) = lim_ (xrarr0 ^ (+)) (х ^ 2 + 1) / х ^ 2 = + оо #

#lim_ (xrarr-оо) Р (х) = lim_ (xrarr-оо) (х ^ 2 + 1) / х ^ 2 = lim_ (xrarr-оо) х ^ 2 / х ^ 2 = 1 #

#lim_ (xrarr + оо) Р (х) = lim_ (xrarr + оо) (х ^ 2 + 1) / х ^ 2 = 1 #

#f (A_1) = F (((- оо, 0))) = (lim_ (xrarr-оо) Р (х), lim_ (xrarr0 ^ (-)) Р (х)) = #

# (1, + оо) #

#f (А_2) = F (((0, + оо))) = (е lim_ (xrarr + оо) (х), lim_ (xrarr0 ^ +), F (X)) = (1, + оо) #

Спектр # = F (A) = F (A_1) UUF (А_2) = (1, + оо) #