Ответ:
Нет решений в # RR #.
Объяснение:
Прежде всего, давайте немного упростим:
Как # Е ^ х # а также #ln (х) # обратные функции, # e ^ ln (x) = x # держит так же как # ln (e ^ x) = x #, Это означает, что вы можете упростить свой третий логарифмический термин:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Ваша следующая цель - собрать все #журнал# функции к той же базе, так что у вас есть возможность использовать правила логарифма на них и упростить.
Вы можете изменить базу логарифма следующим образом:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
Давайте использовать это правило, чтобы изменить базу #8# из # Log_8 # и база #32# из # Log_32 # к базе #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Теперь мы можем рассчитать # log_2 (8) = 3 # а также # log_2 (32) = 5 #
(в случае, если это не ясно, позвольте мне разбить его, чтобы быть уверенным # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
Это приводит нас к следующему, более простому, логарифмическому уравнению:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… умножить обе стороны на #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Теперь мы готовы использовать правила логарифма:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # а также #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
Цель состоит в том, чтобы иметь только один #журнал# термин на левой стороне. Давай сделаем это.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
На данный момент, мы можем избавиться от # Log_2 (а) # применяя обратную функцию # 2 ^ а # по обе стороны уравнения.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
К сожалению, я должен признать, что я застрял в данный момент, так как я не знаю, как решить это уравнение.
Тем не менее, заговор #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # говорит мне, что это уравнение не имеет решений в # RR #.
график {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9,63, 10,37, -4,88, 5,12}
Я надеюсь, что это помогло немного!
