Сумма квадрата из трех целых чисел равна 324. Как вы находите целые числа?

Ответ:

Единственное решение с четкими положительными целыми числами #(2, 8, 16)#

Полный набор решений:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Объяснение:

Мы можем сэкономить некоторые усилия, рассматривая форму квадратов.

Если # П # нечетное целое число тогда #n = 2k + 1 # для некоторого целого числа # К # а также:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Обратите внимание, что это нечетное целое число вида # 4P + 1 #.

Таким образом, если вы добавите квадраты двух нечетных целых чисел, то вы всегда получите целое число вида # 4k + 2 # для некоторого целого числа # К #.

Обратите внимание, что #324 = 4*81# имеет форму # 4k #не # 4k + 2 #.

Следовательно, мы можем сделать вывод, что все три целых числа должны быть четными.

Существует целое число решений в целых числах, так как # n ^ 2> = 0 # для любого целого числа # П #.

Рассмотрим решения в неотрицательных целых числах. Мы можем добавить варианты с отрицательными целыми числами в конце.

Предположим, что наибольшее целое число # П #, затем:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Так:

# 12 <= n <= 18 #

Это приводит к возможным суммам квадратов двух других целых чисел:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Для каждого из этих значений # К #предположим, что наибольшее оставшееся целое число # М #, Затем:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

и мы требуем # К-м ^ 2 # быть идеальным квадратом.

Отсюда мы находим решения:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Таким образом, единственное решение с различными положительными целыми числами #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Легко показать, что # х, у # а также # Г # должно быть даже потому, что делает # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # а также # Г = 2m_z # у нас есть

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # или же

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # что абсурдно

Так что мы будем рассматривать с этого момента

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Теперь рассмотрим личность

# ((Л ^ 2 + т ^ 2-п ^ 2) / п) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((л ^ 2 + т ^ 2 + п ^ 2) / п) ^ 2 #

с # Л, м, н # произвольные натуральные числа и создание

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

у нас есть

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # или решение для # П #

#n = 1/2 (9 вечера по квадрату (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

так что для осуществимости нам нужно

# 9 ^ 2-4 (л ^ 2 + т ^ 2) = р ^ 2 # или же

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

Таким образом, для # Р = {1,2,3,4,5,6,7,8} # Мы будем иметь

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # так выполнимо # Д # являются

#q_f = {80,72,56,32} # так как #q равно 0 мод 4 #

поэтому мы должны найти

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # или же

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Здесь, как мы можем легко проверить, единственное решение для

# L_1 = 2, m_1 = 4 # так как

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bar q_1 #

и следовательно # n_1 = {4,5} #

и подставив в 1 получим

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

давая решение

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #