Доказать, что набор мощности это поле?

Ответ:

Набор степеней множества - это коммутативное кольцо при естественных операциях объединения и пересечения, но не поле при этих операциях, поскольку в нем отсутствуют обратные элементы.

Объяснение:

Учитывая любой набор # S #рассмотрим набор мощности # 2 ^ S # из # S #.

Это имеет естественные операции союза # Уу # который ведет себя как сложение, с идентичностью # O / # и пересечение # Пп # который ведет себя как умножение с идентичностью # S #.

Более подробно:

• # 2 ^ S # закрыто под # Уу #

  Если #A, B в 2 ^ S # затем # A uu B в 2 ^ S #

• Есть личность # O / in 2 ^ S # за # Уу #

  Если #A в 2 ^ S # затем #A uu O / = O / uu A = A #

• # Уу # ассоциативен

  Если #A, B, C в 2 ^ S # затем # A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # Уу # коммутативен

  Если #A, B в 2 ^ S # затем # A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # закрыто под # Пп #

  Если #A, B в 2 ^ S # затем # A nn B в 2 ^ S #

• Есть личность #S в 2 ^ S # за # Пп #

  Если #A в 2 ^ S # затем #A nn S = S nn A = A #

• # Пп # ассоциативен

  Если #A, B, C в 2 ^ S # затем #A nn (B nn C) = (A nn B) nn C #

• # Пп # коммутативен

  Если #A, B в 2 ^ S # затем #A nn B = B nn A #

• # Пп # левый и правый дистрибутив # Уу #

  Если #A, B в 2 ^ S # затем # A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  а также # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Так # 2 ^ S # удовлетворяет всем аксиомам, необходимым для того, чтобы быть коммутативным кольцом с добавлением # Уу # и умножение # Пп #.

Если #S = O / # затем # 2 ^ S # имеет один элемент, а именно # O / #таким образом, он не может иметь различных аддитивных и мультипликативных тождеств и поэтому не является полем.

В противном случае обратите внимание, что # S # не имеет обратной под # Уу # а также # O / # не имеет обратной под # Пп #, Так # 2 ^ S # не образует поля из-за отсутствия обратных элементов.