Какова область и диапазон f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

Ответ:

Домен # RR # (все действительные числа) и диапазон # 5-SQRT (61)) / 72, (5 + SQRT (61)) / 72 #

(все действительные числа между и в том числе # (5-SQRT (61)) / 72 # а также # (5 + SQRT (61)) / 72 #).

Объяснение:

В области мы начинаем со всех действительных чисел, а затем удаляем любые, которые заставили бы нас получить квадратный корень из отрицательного числа, или #0# в знаменателе дроби.

На первый взгляд, мы знаем, что как # x ^ 2> = 0 # для всех действительных чисел, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #, Таким образом, знаменатель не будет #0# для любого действительного числа #Икс#это означает, что домен включает каждое действительное число.

Для диапазона самый простой способ найти вышеупомянутые значения включает некоторое базовое исчисление. Хотя он длиннее, его также можно найти, используя только алгебру, однако, с помощью метода, описанного ниже.

Начиная с функции #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # мы хотим найти все возможные значения #f (х) #, Это эквивалентно нахождению области обратной функции # Е ^ -1 (х) # (функция со свойством # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

К сожалению, обратное #f (х) # в этом случае это не функция, так как она возвращает 2 значения, однако идея остается той же. Начнем с уравнения #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # и решить для #Икс# найти обратное. Далее мы рассмотрим возможные значения # У # найти область обратного и, следовательно, диапазон исходной функции.

Решение для #Икс#:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

Лечение # У # в качестве константы мы применяем квадратную формулу

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

чтобы получить

#x = (1 + - sqrt (1 - 4 года (36 лет-5))) / (2 года) #

Теперь нам нужно найти домен вышеприведенного выражения (обратите внимание, что это не функция из-за #+-#). Обратите внимание, что путем деления на # У # в квадратичной формуле мы потеряли возможность # У = 0 #, что явно возможно в исходном уравнении (для #x = -5 #). Таким образом, мы будем игнорировать # У # в знаменателе обратного, и сосредоточиться только на квадратный корень.

Как упоминалось ранее, мы не допускаем квадратный корень из значения меньше 0, и поэтому у нас есть ограничение

# 1 - 4 года (36 лет-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Используя квадратную формулу на # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # после некоторого упрощения мы находим

#y = (5 + -квт (61)) / 72 #

Наконец, мы можем сказать, что как # | У | # становится большим, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # будет меньше чем #0#, Таким образом, мы рассматриваем только интервал между

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # а также #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Таким образом, допустимые значения для # У #и, таким образом, диапазон для #f (х) #, является

# 5-SQRT (61)) / 72, (5 + SQRT (61)) / 72 #