Если вы бросаете один кубик, какое ожидаемое количество бросков необходимо, чтобы бросить каждый номер один раз?

Ответ:

# 14.7 "катит" #

Объяснение:

#P "все брошенные числа" = 1 - P "1,2,3,4,5 или 6 не брошено" #

#P "A или B или C или D или E или F" = P A + P B + … + P F - #

#P A и B - P A и C …. + P A и B и C + … #

# "Вот это" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ п #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (п-1) -5 * (1/6) ^ (п-1) #

# "Отрицание этого - наша вероятность." #

# сумма n * a ^ (n-1) = сумма (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) сумма a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = сумма n * P "все числа, выброшенные после n бросков" #

# = сумма n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Мы должны вычесть одно из-за начального условия P_1 (0)" #

# "дает ошибочное значение P = 1 для n = 1." #

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

Ответ:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Объяснение:

Думайте об этом как о шести мини-играх. Для каждой игры мы бросаем кубик до тех пор, пока не выпадем число, которое еще не выпало - то, что мы будем называть «победой». Тогда мы начинаем следующую игру.

Позволять #ИКС# быть количеством бросков, необходимым для того, чтобы бросить каждое число хотя бы один раз (т.е. выиграть все 6 мини-игр), и позволить # X_i # быть количеством бросков, необходимых для "выигрыша" номера мини-игры #я# (за #я# от 1 до 6). Тогда каждый # X_i # является геометрической случайной величиной с распределением # "Geo" (p_i) #.

Ожидаемое значение каждой геометрической случайной величины # 1 / p_i #.

Для первой игры # p_1 = 6/6 # поскольку все 6 результатов являются «новыми». Таким образом, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Для второй игры 5 из 6 результатов являются новыми, поэтому # P_2 = 5/6 #, Таким образом, # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

Для третьей игры 4 из 6 возможных бросков являются новыми, поэтому # P_3 = 4/6 #, имея в виду # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

К этому моменту мы можем видеть образец. Поскольку количество «выигрышных» бросков уменьшается на 1 для каждой новой игры, вероятность «выигрыша» в каждой игре уменьшается с #6/6# в #5/6#, затем #4/6#и т. д., что означает ожидаемое число бросков на игру #6/6# в #6/5#, чтобы #6/4#и так далее, до последней игры, где мы ожидаем, что для получения последнего номера потребуется 6 бросков.

Таким образом:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (white) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

# color (white) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

# color (white) ("E" (X)) = 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 #

#color (white) ("E" (X)) = 14,7 #