Ответ:
# 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #
Объяснение:
Первый пусть # Т = cosx #.
# У = т ^ 2 + 7t + 8 #
Теперь, давайте закончим квадрат, чтобы учесть это.
# У = (т ^ 2 + 7t) + 8 #
Обратите внимание, что # (Т + 7/2) ^ 2 = (т + 7/2) (т + 7/2) #
# = Т ^ 2 + 7 / 2t + 7 / 2t + (7/2) ^ 2 #
# = Т ^ 2 + 7t + 49/4 #
Итак, мы хотим добавить #49/4# в выражение и вычесть его обратно снова.
# У = (т ^ 2 + 7t + 49/4) + 8-49 / 4 #
Обратите внимание, что #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.
# У = (т + 7/2) ^ 2-17 / 4 #
Теперь обратите внимание, что # 17/4 = (sqrt17 / 2) ^ 2 #.
# У = (т + 7/2) ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2 #
Теперь у нас есть разность квадратов и мы можем вычислить ее как единое целое.
#Y = (т + 7/2) + sqrt17 / 2 (т + 7/2) -sqrt17 / 2 #
# У = (cosx + (7 + sqrt17) / 2) (cosx + (7-sqrt17) / 2) #
Если мы хотим, мы можем привести общий фактор #1/2# из каждой части:
# У = 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #
Ответ:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
Объяснение:
позволять # u = cos (x) #
Тогда возникает вопрос:
фактор # И ^ 2 + 7u + 8 # Вы можете просто использовать квадратную формулу здесь, т.е. # u = frac {-b pm sqrt (b ^ 2-4ac)} {2a} #
или вы могли бы сделать это длинным путем (что не лучше, чем формула, фактически это один из методов, используемых для формулирования квадратной формулы):
найти два корня, # r_1 # а также # r_2 # такой, что # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
Expand: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #
# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #
Таким образом: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
и поэтому: # - (r_1 + r_2) = 7 # а также # (r_1) (r_2) = 8 #
# (r_1 + r_2) = -7, (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 - 4 (r_1) (r_2) = 49 - 4 (8) = 17 #
# (r_1) ^ 2 - 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #
# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #
# r_1-r_2 = sqrt (17) #
# frac {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = frac {-7 + sqrt (17)} {2} #
# frac {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = frac {-7 - sqrt (17)} {2} #
Таким образом, факторизованная форма # (u + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (u + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
суб # u = cos (x) # получить:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
