Без использования функции расчета калькулятора, как решить уравнение: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Ответ:

Нули # Х = 5 #, # х = -2 #, # Х = 1 + -sqrt (2) я #

Объяснение:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

Нам говорят, что # (Х-5) # является фактором, поэтому выделите его:

# х ^ 4-5х ^ 3-х ^ 2 + 11х-30 = (х-5) (х ^ 3-х + 6) #

Нам говорят, что # (Х + 2) # также является фактором, поэтому выделите это:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

Дискриминант оставшегося квадратичного фактора отрицателен, но мы все равно можем использовать квадратную формулу, чтобы найти комплексные корни:

# Х ^ 2-2x + 3 # в форме # Ах ^ 2 + Ьх + с # с # А = 1 #, # Б = -2 # а также # C = 3 #.

Корни задаются квадратичной формулой:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -квт ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) я #

Давайте попробуем, не зная, что # (Х-5) # а также # (Х + 2) # факторы.

Постоянный член равен произведению корней, поэтому

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Этот коэффициент является целочисленным значением, чьи факторы # pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Используя эти значения, мы видим, что

#p (-2) = p (5) = 0 # получение двух корней.

Мы можем представить полином как

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Вычислив правую сторону и сравнив обе стороны, получим

# -5 = а-3 #

# -1 = Ь-3а-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = -10b #

Решение для # (А, б) # мы получаем # А = -2, Ь = 3 #

Оценивая корни # Х ^ 2-2x + 3 = 0 # мы получаем # 1 - я sqrt 2, 1 + я sqrt 2 #