Докажите sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Ответ:

Пояснения

Объяснение:

На нормальной координатной плоскости у нас есть координаты типа (1,2) и (3,4) и тому подобное. Мы можем повторно выразить эти координаты n членами радиусов и углов. Так что, если у нас есть точка (a, b), это означает, что мы идем на единицы вправо, на b единиц вверх и #sqrt (а ^ 2 + B ^ 2) # как расстояние между началом и точкой (а, б). Я позвоню #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Итак, мы имеем # Ре ^ агс (б / у) #

Теперь, чтобы закончить это доказательство, давайте вспомним формулу.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Функция дугового загара дает мне угол, который также является тета.

Итак, у нас есть следующее уравнение:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

Теперь давайте нарисуем прямоугольный треугольник.

Арктан (b / a) говорит мне, что b противоположная сторона, а a соседняя сторона. Поэтому, если я хочу, чтобы cos arctan (b / a), мы используем теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу. Гипотенуза #sqrt (а ^ 2 + B ^ 2) #, Так что cos (arctan (b / a)) = смежный с гипотенузой = # А / SQRT (а ^ 2 + B ^ 2) #.

Самое приятное в этом то, что этот же принцип применим к синусу. Так что грех (arctan (b / a)) = противоположность гипотенузе = # Б / SQRT (а ^ 2 + B ^ 2) #.

Теперь мы можем перефразировать наш ответ следующим образом: #r * ((а / SQRT (а ^ 2 + B ^ 2)) + (би / SQRT (а ^ 2 + B ^ 2))) #.

Но помни #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # так что теперь у нас есть: #r * ((a / r) + (bi / r)) #, Клавиша отменяется, и у вас остается следующее: # А + би #

Следовательно, # (Ре ^ ((арктангенс (B / A)))) = а + би #