Вопрос ecc3a

Ответ:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Объяснение:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2х + 1) / sqrt3) + C #

Ответ:

#int 3 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Объяснение:

Всякий раз, когда у нас есть квадратичный в знаменателе и нет #Икс#Находясь в числителе, мы хотим получить интеграл в следующем виде:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

В нашем случае мы можем сделать это, заполнив квадрат и затем применив подстановку.

# Х ^ 2 + х + 1 = (х + 1/2) ^ 2 + к #

# Х ^ 2 + х + 1 = х ^ 2 + х + 1/4 + K #

# К = 3/4 #

# Х ^ 2 + х + 1 = (х + 1/2) ^ 2 + 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Мы хотим ввести такую подстановку, чтобы:

# (Х + 1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

Мы можем решить для #Икс# чтобы выяснить, какой должна быть эта замена:

# х + 1/2 = sqrt3 / 2u #

# Х = sqrt3 / 2u-1/2 #

Интегрировать по отношению к # # Uумножаем на производную #Икс# в отношении # # U:

# Дх / (ди) = sqrt3 / 2 #

# 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = #

# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (и) + C #

Теперь мы можем решить для # # U с точки зрения #Икс# повторно заменить:

# И = (2х + 1) / sqrt3 #

Это означает, что наш окончательный ответ:

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2х + 1) / sqrt3) + C #