Какова площадь трапеции, диагонали которой равны 30, а высота - 18?

Ответ:

#S_ (трапеция) = 432 #

Объяснение:

Рассмотрим рисунок 1

В трапеции ABCD, которая удовлетворяет условиям задачи (где # BD = AC = 30 #, # DP = 18 #и AB параллельна CD), заметив, применяя теорему об альтернативных внутренних углах, # Альфа = дельта # а также # Бета-гамма = #.

Если мы нарисуем две линии, перпендикулярные сегменту AB, образуя сегменты AF и BG, мы можем увидеть #triangle_ (АФК) - = triangle_ (БДГ) # (поскольку оба треугольника являются правильными, и мы знаем, что гипотенуза одного равна гипотенузе другого и что нога одного треугольника равна ноге другого треугольника), то # Альфа = бета # => # = Гамма-дельта #.

поскольку # = Гамма-дельта # мы это видим #triangle_ (КРТ) - = triangle_ (АВС) # а также # AD = BC #следовательно, трапеция равнобедренная.

Мы также можем видеть, что #triangle_ (АДФ) - = triangle_ (BCQ) # => # AP = BQ # (или же # Х = у # на рисунке 2).

Рассмотрим рисунок 2

Мы можем видеть, что трапеция на фигуре 2 имеет форму, отличную от фигуры на фигуре 1, но обе они удовлетворяют условиям задачи. Я представил эти две цифры, чтобы показать, что информация о проблеме не позволяет определить размеры базы 1 (# М #) и базы 2 (# П #) трапеции, но мы увидим, что не нужно больше информации для вычисления площади трапеции.

В #triangle_ (БПР) #

# DB ^ 2 = DP ^ 2 + BP ^ 2 # => # 30 ^ 2 = 18 ^ 2 + (х + т) ^ 2 # => # (Х + т) ^ 2 = 900-324 = 576 # => # х + м = 24 #

поскольку # п = т + х + у # а также # Х = у # => # п = т + 2 * х # а также # Т + п = т + т + 2 * х = 2 * (х + т) = 2 * 24 # => # Т + п = 48 #

#S_ (трапеции) = (base_1 + base_2) / 2 * высота = (т + п) / 2 * 18 = (48 * 18) / 2 = 432 #

Примечание: мы могли бы попытаться определить м а также N сопрягая эти два уравнения:

В #triangle_ (ADP) -> AD ^ 2 = AP ^ 2 + h ^ 2 # => # AD ^ 2 = (24-м) ^ 2 + 18 ^ 2 #

В #triangle_ (ABD) -> AD ^ 2 = AB ^ 2 + BD ^ 2-2 * AB * BD * cos delta # => # AD ^ 2 = т ^ 2 + 30 ^ 2-2 * м * 30 * (4/5) #

(#cos delta = 4/5 # так как #sin delta = 18/30 = 3/5 #)

Но, решив эту систему двух уравнений, мы обнаружим, что м и сторона ОБЪЯВЛЕНИЕ являются неопределенными.