Что такое гильбертово пространство? + Пример

Гильбертово пространство - это набор элементов с определенными свойствами, а именно:

это векторное пространство (поэтому существуют операции над его элементами, типичные для векторов, такие как умножение на действительное число и сложение, которые удовлетворяют коммутативному и ассоциативному законам);

между любыми двумя элементами есть скалярное (иногда называемое внутренним или точечное) произведение, которое приводит к действительному числу.

Например, наше трехмерное евклидово пространство является примером гильбертова пространства со скалярным произведением # Х = (x_1, x_2, x_3) # а также # У = (y_1, y_2, y_3) # равно # (Х, у) = x_1 * y_1 + x_2 * y_2 + x_3 * y_3 #.

Более интересным примером является пространство всех непрерывных функций на отрезке # А, Ь # со скалярным произведением, определяемым как

# (f, g) = int_a ^ b f (x) * g (x) dx #

В квантовой физике гильбертово пространство играет очень важную роль как функция, которая описывает состояние системы # Пси # является элементом гильбертова пространства.

Я могу порекомендовать

http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_1p2.pdf

как введение в использование гильбертова пространства в квантовой физике.