Какой самый быстрый и простой способ решения кубических и квартичных уравнений (без полиномиального калькулятора)?

Ответ:

Это зависит…

Объяснение:

Если кубика или квартика (или любой степенной полином по этому вопросу) имеют рациональные корни, то теорема о рациональных корнях может быть самым быстрым способом их найти.

«Правило знаков» Декарта также может помочь определить, имеет ли полиномиальное уравнение положительные или отрицательные корни, поэтому можно сузить поиск.

Для кубического уравнения может быть полезно оценить дискриминант:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• Если #Delta = 0 # тогда кубика имеет повторный корень.

• Если #Delta <0 # тогда кубика имеет один действительный корень и два нереальных комплексных корня.

• Если #Delta> 0 # тогда кубика имеет три реальных корня.

Если #Delta = 0 # затем кубика делит множитель с его производной, поэтому вы сможете найти их общий множитель, вычислив полиномиальный GCF.

В противном случае, вероятно, полезно использовать преобразование Чирнхауса для получения подавленный куб без квадрата, прежде чем продолжить.

Если у кубики есть один реальный корень и два нереальных, я бы порекомендовал метод Кардано.

Если у него три настоящих корня, я бы рекомендовал вместо этого использовать тригонометрическую замену.

Для квартик вы можете получить депрессию без кубического члена с помощью подстановки, например #t = x + b / (4a) #.

Если получающаяся квартика также не имеет линейного члена, то она является квадратичной в # Х ^ 2 #, Вы можете решить это как квадратичное и взять квадратные корни, или использовать факторизацию формы:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

Из этого вы можете найти квадратичные факторы для решения.

Если получающаяся квартика имеет линейный член, то она может быть разложена в виде:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

Уравнивание коэффициентов и использование # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #Вы можете получить куб в # А ^ 2 #, Следовательно, вы можете найти возможные значения для # A #, # Б # а также # C #, Затем найдите нули квадратичных факторов.

Есть и другие особые случаи, но это примерно так.