Как разложить a ^ 8 + b ^ 8?

Ответ:

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # за #b в RR #

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) # за #b = | b | e ^ (itheta) в CC #

По основной теореме алгебры мы можем разложить данное выражение как

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #

где каждый # Alpha_k # корень # Х ^ 8 + Ь ^ 8 #.

Решение для # Alpha_k #, мы получаем

# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #

# => x ^ 8 = -b ^ 8 #

# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #

# = | Б | (-1) ^ (1/8) # (при условии, #b в RR #)

# = | Б | (е ^ (я (р + 2pik))) ^ (1/8) #

# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k в ZZ #

Как #k в {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # учет всех уникальных значений этой формы, мы получаем нашу факторизацию как, для #b в RR #

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #

Для более общего #b в CC #тогда предположим #b = | b | e ^ (itheta) #, мы можем пройти аналогичные вычисления, чтобы найти

# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #

имея в виду

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) #

Извините, я упускаю из виду некоторые мелкие детали, ответ от sente правильный.

если бы #b ne 0 # а также # a, b в RR # у нас есть

# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # затем

# А / Ь = е ^ (я (2k + 1), р / 8) # затем

# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # являются # К = 0,1, cdots, 7 # корни или факторы.

определять

#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #

а потом

# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #

# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #

# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #

# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #

так

# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # с реальными коэффициентами.