Пусть a, b, c, m и n - такие целые числа, что m

Ответ:

#165.#

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c, x в ОР; a, b, c в ZZ #

График # Е # проходит через оч. # (m, 0) и, (n, 2016 ^ 2) #.

#:. 0 = am ^ 2 + bm + c …. (1), &, 2016 ^ 2 = an ^ 2 + bn + c ……… (2) #.

# (2) - (1) rArr a (n ^ 2-m ^ 2) + b (n-m) = 2016 ^ 2 #.

#:. (П-т) {а (п + т) + Ь} = 2016 ^ 2. #

Вот, # m, n, a, b, c в ZZ "с" n> m #

#rArr (n-m), {a (n + m) + b} в ZZ ^ + #

Это означает, что # (Н-м) # является фактором # 2 ^ 2016 = 2 ^ 10 * 3 ^ 4 * 7 ^ 2 … (звезда) #

Следовательно, Количество возможных значений # (Н-м), #

# "= число возможных факторов" 2016 ^ 2, #

# = (1 + 10) (1 + 4) (1 + 2) …………… by, (star) #

#=165.#

Мы использовали этот результат: если главная факторизация #a в NN # является,

# А = p_1 ^ (alpha_1) * p_2 ^ (alpha_2) * P_3 ^ (alpha_3) * … * p_n ^ (alpha_n) #, затем # A # имеет

# (1 + alpha_1) (1 + alpha_2) (1 + alpha_3) … (1 + alpha_n) # факторы.