Минимальное значение f (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 равно?

#f (х, у) = х ^ 2 + 13Y ^ 2-6xy-4у-2 #

# => F (х, у) = х ^ 2-2 * х * (3y) + (3y) ^ 2 + (2у) ^ 2-2 * (2y) * 1 + 1 ^ 2-3 #

# => F (х, у) = (х-3y) ^ 2 + (2y-1) ^ 2-3 #

Минимальное значение каждого квадратного выражения должно быть равно нулю.

Так # Р (х, у) _ "мин" = - 3 #

Ответ:

Относительный минимум на #(3/2,1/2)# а также #f (3 / 2,1 / 2) = - 3 #

Объяснение:

Я думаю, что мы должны вычислить частные производные.

Вот, #f (х, у) = х ^ 2 + 13Y ^ 2-6xy-4у-2 #

Первые частные производные

# (DELF) / (delx) = 2x-6Y #

# (DELF) / (Dely) = 26Y-6x-4 #

Критические точки

# {(2x-6Y = 0), (26Y-6x-4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = х), (26Y-6 * 3y-4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = х), (8y = 4):} #

#<=>#, # {(Х = 3/2), (у = 1/2):} #

Вторые частные производные

# (Дель ^ 2е) / (delx ^ 2) = 2 #

# (Дель ^ 2е) / (делы ^ 2) = 26 #

# (Дель ^ 2е) / (delxdely) = - 6 #

# (Дель ^ 2е) / (delydelx) = - 6 #

Определитель матрицы Гессена

#D (х, у) = | ((дель ^ 2е) / (delx ^ 2), (дель ^ 2е) / (delxdely)), ((дель ^ 2е) / (делы ^ 2), (дель ^ 2f) / (delydelx)) | #

#=|(2,-6),(-6,26)|#

#=52-36#

#=16>0#

Как #D (х, у)> 0 #

а также

# (Дель ^ 2е) / (delx ^ 2) = 2> 0 #

Относительный минимум на #(3/2,1/2)#

А также

#f (3 / 2,1 / 2) = 1,5 ^ 2 + 13 * 0,5 ^ 2-6 * 1,5 * 0,5-4 * 0,5-2 = -3 #