Как найти абсолютные максимальные и абсолютные минимальные значения f на заданном интервале: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) на [-1, 5]?

Ответ:

Reqd. крайние значения # -25 / 2 и 25/2 #.

Объяснение:

Мы используем замену # t = 5sinx, t in -1,5 #.

Обратите внимание, что эта замена допустима, потому что, # t в -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, который держит хорошо, так как диапазон # Грех # веселье. является #-1,1#.

Сейчас, #f (т) = tsqrt (25-т ^ 2) = 5sinx * SQRT (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Поскольку, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Поэтому требуется. конечности # -25 / 2 и 25/2 #.

Ответ:

Найдите монотонность функции по знаку производной и решите, какие локальные максимумы / минимумы самые большие, самые маленькие.

Абсолютный максимум это:

#f (3,536) = 12,5 #

Абсолютный минимум это:

#f (-1) = - 4,899 #

Объяснение:

#f (т) = tsqrt (25-т ^ 2) #

Производная функции:

#f '(т) = SQRT (25-т ^ 2) + T * 1 / (2sqrt (25-т ^ 2)) (25-т ^ 2)' #

#f '(т) = SQRT (25-т ^ 2) + T * 1 / (2sqrt (25-т ^ 2)) (- 2t) #

#f '(т) = SQRT (25-т ^ 2) -t ^ 2 / SQRT (25-т ^ 2) #

#f '(т) = SQRT (25-т ^ 2) ^ 2 / SQRT (25-т ^ 2) -t ^ 2 / SQRT (25-т ^ 2) #

#f '(т) = (25-т ^ 2-т ^ 2) / SQRT (25-т ^ 2) #

#f '(т) = (25-2t ^ 2) / SQRT (25-т ^ 2) #

#f '(т) = 2 (12,5 т ^ 2) / SQRT (25-т ^ 2) #

#f '(T) = 2 (SQRT (12.5) ^ 2-т ^ 2) / SQRT (25-т ^ 2) #

#f '(т) = 2 ((SQRT (12.5) -t) (SQRT (12,5) + T)) / SQRT (25-т ^ 2) #

• Числитель имеет два решения:

  # Т_1 = SQRT (12.5) = 3.536 #

  # T_2 = -sqrt (12.5) = - 3,536 #

  Следовательно, числитель имеет вид:

  Негатив для #t in (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  Положительный для #t in (-3.536,3.536) #

• Знаменатель всегда положителен в # RR #, так как это квадратный корень.

  Наконец, данный диапазон #-1,5#

Следовательно, производная функции:

- негатив для #t в -1,3.536) #

- Позитивно для #t in (3.536,5) #

Это означает, что график в первую очередь идет вверх от #f (-1) # в #f (3,536) # а затем идет вниз к #f (5) #, Это делает #f (3,536) # абсолютный максимум и наибольшее значение #f (-1) # а также #f (5) # это абсолютный минимум.

Абсолютный максимум #f (3,536) #:

#f (3,536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12,5 #

Для абсолютного максимума:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4,899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Следовательно, #f (-1) = - 4,899 # это абсолютный минимум.

Вы можете видеть на графике ниже, что это правда. Просто игнорируйте область слева от #-1# так как это вне домена:

graph {xsqrt (25-x ^ 2) -14,4, 21,63, -5,14, 12,87}