Как найти первую производную от f (x) = 2 sin (3x) + x?

Ответ:

#f '(х) = 6cos (3x) + 1 #

Объяснение:

Различают каждый термин:

# (Д (х)) / дх = 1 #

Используя правила цепочки для второго слагаемого, мы имеем:

#G (х) = Н (к (х)) => г '(х) = к' (х) ч '(к (х)) #

С:

#h (и) = 2sin (и) => ч '(и) = 2cos (и) #

#k (х) = 3x => к '(х) = 3 #

#G (х) = 2sin (3x) => г '(х) = 6cos (3x) #

Вместе мы имеем:

#f '(х) = 6cos (3x) + 1 #

Ответ:

Нас просят найти производную #f (x) = 2sin (3x) + x # используя определение: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

Объяснение:

Нам нужно оценить:

#lim_ (hrarr0) (overbrace (2sin (3 (x + h)) + + (x + h)) ^ (f (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x) ^ f (х)) / ч #.

Это будет громоздко. Чтобы это выглядело менее сложным, давайте разделим выражение на две более простые части. Мы возьмем тригонометрическую часть и линейную часть отдельно.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

Я предполагаю, что вы можете показать, что второй предел #1#, Более сложный предел - это предел, включающий тригонометрические функции.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (overbrace ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h #

# = 2 (lim_ (hrarr0) sin3x) (3lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / (3h)) + (lim_ (hrarr0) cos3x) (3lim_ (hrarr0) (sin3h) / (3h)) #

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

Итак, когда мы соединяем две части, мы получаем:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #