Что такое ряд Тейлора f (x) = arctan (x)?

#f (х) = sum_ {п = 1} ^ infty (-1) ^ п {х ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Давайте посмотрим на некоторые детали.

#f (х) = arctanx #

#f '(х) = 1 / {1 + х ^ 2} = 1 / {1 - (- х ^ 2)} #

Помните, что геометрические степенные ряды

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

заменив #Икс# от # -X ^ 2 #, # Правая стрелка 1 / {1 - (- x ^ 2)} = сумма_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = сумма_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Так, #f '(х) = sum_ {п = 0} ^ infty (-1) ^ щ ^ {2n} #

Интегрируя, #f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

поместив знак интеграла внутри суммирования, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

по силовому правилу, # = Sum_ {п = 1} ^ infty (-1) ^ п {х ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

поскольку #f (0) = агс (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Правая стрелка C = 0 #

Следовательно, #f (х) = sum_ {п = 1} ^ infty (-1) ^ п {х ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #