Что больше: 1000 ^ (1000) или 1001 ^ (999)?

Ответ:

#1000^1000 > 1001^999#

Объяснение:

Учитывая уравнение

# 1000 ^ 1000 = 1001 ^ х #

если #x> 999 #

затем

#1000^1000 > 1001^999#

еще

#1000^1000 < 1001^999#

Применение преобразования журнала для обеих сторон.

# 1000 log 1000 = x log 1001 #

но

#log 1001 = log1000 + 1 / 1000xx1-1 / (2!) 1/1000 ^ 2xx1 ^ 2 + 2 / (3!) 1/1000 ^ 3xx1 ^ 3 + cdots + 1 / (n!) (d / (dx) log x) _ (x = 1000) 1 ^ n #.

Эта серия является альтернативной и быстро сходящейся, поэтому

# log1001 приблизительно log1000 + 1/1000 #

Подставляя в

#x = 1000 log1000 / (log1000 + 1/1000) = 1000 (3000/3001) #

но #3000/3001 = 0.999667# так

#x = 999.667> 999 # затем

#1000^1000 > 1001^999#

Ответ:

Вот альтернативное решение, использующее теорему бинома для доказательства:

#1001^999 < 1000^1000#

Объяснение:

По биноминальной теореме:

#(1+1/1000)^999 = 1/(0!) + 999/(1!)1/1000 + (999*998)/(2!)1/1000^2 + (999*998*997)/(3!) 1/1000^3 + … + (999!)/(999!) 1/1000^999#

# <1 / (0!) + 1 / (1!) + 1 / (2!) + 1 / (3!) + … = e ~~ 2.718 #

Так:

#1001^999 = (1001/1000 * 1000) ^ 999#

# color (white) (1001 ^ 999) = (1 + 1/1000) ^ 999 * 1000 ^ 999 #

# цвет (белый) (1001 ^ 999) <e * 1000 ^ 999 <1000 * 1000 ^ 999 = 1000 ^ 1000 #

Ответ:

#1000^1000 > 1001^999#

Объяснение:

# Использовать журнал 1000 = журнал 10 ^ 3 = 3 и журнал 1001 = 3.0004340 …

Здесь логарифмы двух

#log (1000 ^ 1000) = 1000 log1000 = (1000) (3) = 3000 # а также

#log 1001 ^ 999 = (999) (3.0004340 …) = 2997,4 #…

Поскольку журнал является возрастающей функцией, #1000^1000 > 1001^999#.