Что такое корень куба (sqrt3 -i)?

Я бы начал с преобразования числа в тригонометрическую форму:

# Г = SQRT (3) -i = 2 сов (-pi / 6) + ISIN (-pi / 6) #

Корень куба этого числа можно записать как:

# Г ^ (1/3) #

Имея это в виду, я использую формулу для n-й степени комплексного числа в тригонометрической форме:

# Г ^ п = г ^ п соз (ntheta) + ISIN (ntheta) # давая:

# Г ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) сов (-pi / 6 * 1/3) + ISIN (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) сов (-pi / 18) + ISIN (-pi / 18) #

Который в прямоугольнике это: # 4.2-0.7i #

Я не могу полностью согласиться с ответом Джо, потому что он неполный и также (формально) неправильный.

Формальная ошибка в использовании Формула де Мойвра с нецелыми показателями. Формула де Мойвра может быть применена только к целочисленным показателям. Подробнее об этом на странице Википедии

Там вы найдете частичное расширение формулы, чтобы иметь дело с # П #-ые корни (это включает в себя дополнительный параметр # К #): если # z = r (cos theta + i sin theta) #, затем

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (потому что ((тета + 2 k pi) / n) + i sin ((тета + 2 k pi) / n)) # где # k = 0, …, n-1 #.

Один (и в каком-то смысле) очень фундаментальным свойством комплексных чисел является то, что # П #корни имеют … # П # корни (решения)! Параметр # К # (который варьируется между #0# а также # П-1 #, так # П # значения) позволяет нам суммировать их в одной формуле.

Таким образом, у корней куба есть три решения, и найти только одно из них недостаточно: просто#1/3# решения ".

Я напишу свое решение-предложение ниже. Комментарии приветствуются!

Как правильно сказал Джо, первым шагом является выражение # Г = SQRT {3} -i # в его тригонометрической форме #r (потому что тэта + я грешу тэта) #, При работе с корнями тригонометрическая форма (почти) всегда является полезным инструментом (вместе с экспоненциальной). Ты получаешь:

# Г = SQRT {х ^ 2 + у ^ 2} = {SQRT (SQRT {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = SQRT {3 + 1} = SQRT {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Так # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Теперь вы хотите вычислить корни. По приведенной выше формуле получаем:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((тета + 2 к пи) / 3) + i sin ((тета + 2 к пи) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

где # k = 0, 1, 2 #, Итак, есть три разных значения # К # (#0#, #1# а также #2#которые рождают три разных сложных корня # Г #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + я грешу (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (потому что (-11/18 пи) + я грешу (-11/18 пи)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (потому что (-23/18 пи) + я грешу (-23/18 пи)) #

# Z_0 #, # Z_1 # а также # Z_2 # три решения.

Геометрическая интерпретация формулы для # П # Корни очень полезно рисовать решения в комплексной плоскости. Также сюжет очень хорошо указывает на свойства формулы.

Прежде всего, мы можем заметить, что все решения имеют одинаковое расстояние # Г ^ {1 / п} # (в нашем примере #2^{1/3}#) от происхождения. Таким образом, они все лежат на окружности радиуса # Г ^ {1 / п} #, Теперь мы должны указать где разместить их на этой окружности. Мы можем переписать аргументы синуса и косинуса следующим образом:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (тета / n + (2pi) / n k) + i sin (тета / n + (2pi) / n k)) #

«Первый» корень соответствует # К = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (тета / n) + i sin (тета / n)) #

Все остальные корни можно получить из этого, добавив угол # (2р) / п # рекурсивно на угол # Тета / п # относительно первого корня # Z_0 #, Итак, мы движемся # Z_0 # по окружности путем вращения # (2р) / п # радианы (# (360 °) / п #). Таким образом, точки расположены на вершинах регулярного # П #угольник. Учитывая один из них, мы можем найти другие.

В нашем случае:

где синий угол # Тета / п = -pi / 18 # и пурпурный один # (2pi) / n = 2/3 pi #.