Ответ:
Центр: #(2,-1)#
Вершины: # (2, 1/2) и (2, -5 / 2) #
Co-Вершина: # (1, -1) и (3, -1) #
Очаги: # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) и (2, (- 2-sqrt (5)) / 2) #
Эксцентриситет: #sqrt (5) / 3 #
Объяснение:
Техника, которую мы хотим использовать, называется завершением квадрата. Мы будем использовать его на #Икс# условия сначала, а затем # У #.
Переставить в
# 9x ^ 2 + 4y ^ 2 - 36x + 8y = -31 #
Сосредоточиться на #Икс#разделить на # Х ^ 2 # коэффициент и добавить квадрат половины коэффициента # Х ^ 1 # срок в обе стороны:
# x ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 - 4x + 8 / 9y + (- 2) ^ 2 = -31/9 + (-2) ^ 2 #
# (x-2) ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 + 8 / 9y = 5/9 #
Разделить на # У ^ 2 # коэффициент и добавить квадрат половины коэффициента # У ^ 1 # срок в обе стороны:
# 9/4 (x-2) ^ 2 + y ^ 2 + 2y + (1) ^ 2 = 5/4 + (1) ^ 2 #
# 9/4 (x-2) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 9/4 #
Поделить на #9/4# упростить:
# (x-2) ^ 2 + 4/9 (y + 1) ^ 2 = 1 #
# (x-2) ^ 2/1 + ((y + 1) ^ 2) / (9/4) = 1 #
Общее уравнение
# (x-a) ^ 2 / h ^ 2 + (y-b) ^ 2 / k ^ 2 = 1 #
где # (А, б) # это центр и #h, k # являются полу-малой / большой осью.
Чтение из центра дает #(2, -1)#.
В этом случае # У # Направление имеет большее значение, чем #Икс#, поэтому эллипс будет растянут в # У # направление. # k ^ 2> h ^ 2 #
Вершины получаются путем перемещения вверх по главной оси от центра. Т.е. # + - SQRT (к) # добавлено к координате y центра.
Это дает # (2, 1/2) и (2, -5/2) #.
Совершины лежат на малой оси. Мы добавляем # + - SQRT (ч) # к координате х центра, чтобы найти их.
# (1, -1) и (3, -1) #
Теперь, чтобы найти фокусы:
# c ^ 2 = k ^ 2 - h ^ 2 #
# c ^ 2 = 9/4 - 1 #
# c ^ 2 = 5/4 означает c = + -sqrt (5) / 2 #
Очаги будут располагаться вдоль линии #x = 2 # в # + - SQRT (5) / 2 # от #y = -1 #.
#следовательно# фокус на # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) и (2, (- 2-sqrt (5)) / 2) #
Наконец, эксцентриситет определяется
# Е = SQRT (1-х ^ 2 / к ^ 2) #
# e = sqrt (1-1 / (9/4)) = sqrt (1-4 / 9) = sqrt (5) / 3 #
