Самая большая сторона прямоугольного треугольника - это ^ 2 + b ^ 2, а другая сторона - 2ab. Какое условие сделает третью сторону самой маленькой?

Ответ:

Чтобы третья сторона была самой короткой, мы требуем # (1 + sqrt2) | б |> Абс> absb # (и это # A # а также # Б # иметь такой же знак).

Объяснение:

Самая длинная сторона прямоугольного треугольника - это всегда гипотенуза. Итак, мы знаем, что длина гипотенузы # А ^ 2 + Ь ^ 2. #

Пусть длина неизвестной стороны будет # С. # Тогда из теоремы Пифагора мы знаем

# (2ab) ^ 2 + с ^ 2 = (а ^ 2 + B ^ 2) ^ 2 #

или же

# с = SQRT ((а ^ 2 + B ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #

#color (белый) с = SQRT (а ^ 4 + 2а ^ 2b ^ 2 + Ь ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #

#color (белый) с = SQRT (а ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + B ^ 4) #

#color (белый) с = SQRT ((а ^ 2-Ь ^ 2) ^ 2) #

#color (белый) с = а ^ 2-Ь ^ 2 #

Мы также требуем, чтобы все длины сторон были положительными, поэтому

• # А ^ 2 + B ^ 2> 0 #

  # => a! = 0 или b! = 0 #

• # 2ab> 0 #

  # => a, b> 0 или a, b <0 #

• # С = а ^ 2-Ь ^ 2> 0 #

  # <=> А ^ 2> Ь ^ 2 #

  # <=> Абс> absb #

Теперь для любой треугольник, самая длинная сторона должен быть короче сумма двух других сторон. Итак, мы имеем:

#color (white) (=>) 2ab + "" c color (white) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab + (а ^ 2-Ь ^ 2)> а ^ 2 + B ^ 2 #

# => 2ab цвета (белый) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #

# => {(a> b "," если b> 0), (a <b "," если b <0):} #

Далее, чтобы третья сторона была наименьшей, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #

или же # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # или же # a-b <sqrt2b # или же #a <b (1 + sqrt2) #

Объединяя все эти ограничения, мы можем сделать вывод, что для того, чтобы третья сторона была самой короткой, мы должны иметь # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb и (a, b <0 или a, b> 0). #