Ответ:
#3#
Объяснение:
Позволять
# х = SQRT (7 + SQRT (7-SQRT (7 + SQRT (7-SQRT (7-SQRT (7 + … оо #
где мы ограничиваем наше решение, чтобы быть положительным, так как мы берем только положительный квадратный корень, т.е. #x> = 0 #, Приводя в порядок обе стороны, мы имеем
# Х ^ 2 = 7 + SQRT (7-SQRT (7 + SQRT (7-SQRT (7-SQRT (7 + … оо #
# => Х ^ 2-7 = SQRT (7-SQRT (7 + SQRT (7-SQRT (7-SQRT (7 + … оо #
Где на этот раз мы ограничиваем левую часть, чтобы быть положительным, так как мы хотим только положительный квадратный корень, т.е.
# Х ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #
где мы исключили возможность #x <= - SQRT (7) # используя наше первое ограничение.
Снова возведя в квадрат обе стороны
# (Х ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-SQRT (7 + SQRT (7-SQRT (7-SQRT (7 + …….. оо #
# (Х ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + SQRT (7-SQRT (7-SQRT (7 + …….. оо #
Выражение в повторяющихся квадратных корнях является исходным выражением для #Икс#, следовательно
# (Х ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
или же
# (Х ^ 2-7) ^ 2-7 + х = 0 #
Пробные решения этого уравнения # х = -2 # а также # Х = + 3 # что приводит к следующей факторизации
# (Х + 2) (х-3) (х ^ 2 + X-7) = 0 #
Используя квадратную формулу на третий фактор # (Х ^ 2 + X-7) = 0 # дает нам еще два корня:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2,19 "и" -3,19 #
Таким образом, четыре корня многочлена #-3.19…, -2, 2.19…, # а также #3#, Только одно из этих значений удовлетворяет нашему ограничению #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #, следовательно
# Х = 3 #
Ответ:
По-другому
Объяснение:
Мне нравится обсуждать хитрый способ быстрого поиска решения проблемы повторяющихся квадратных корней, например:
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #)
где # р # принадлежит к следующей серии
#3,7,13,21,31…………#, общий термин которого определяется
# М ^ 2-т + 1 # где # m epsilon N # а также # мин> 1 #
TRICK
Если 1 вычтено из данного числа # М ^ 2-т + 1 # результирующее число становится # М ^ 2-м # который # мин (м-1) # и который является не чем иным, как произведением двух последовательных чисел и большего числа из этих двух, будет уникальным решением проблемы.
когда г = # М ^ 2-т + 1 # фактор # М ^ 2-м + 1-1 # = # (М-1) т # и м ответ
когда r = 3, коэффициент (3-1) = 2 = 1,2 и 2 является ответом
при r = 7 коэффициент (7-1) = 6 = 2,3 и 3 является ответом
и так далее…….
объяснение
принятие
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #)
Квадрат с обеих сторон
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #)
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #)
Опять квадраты с обеих сторон
# (x ^ 2- r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #)
# (x ^ 2- r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2-r) ^ 2-r + x = 0 #
положить г = # М ^ 2-т + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
если мы положим х = т в LHS этого уравнения, LHS становится
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (отменить (m ^ 2) - отменить (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (М-1)) ^ 2- (м-1) ^ 2 = 0 #
уравнение выполнено.
Следовательно, м является ответом
давайте положим
# x = sqrt (7 + sqrt (7- sqrt (7 + sqrt (7-sqrt …. #)
Мы можем легко увидеть, что
#sqrt (7 + SQRT (7-х)) = X #
Итак, давайте решим уравнение:
# 7 + SQRT (7-х) = х ^ 2 #
#sqrt (7-х) = х ^ 2-7 #
# 7-х = (х ^ 2-7) ^ 2 = х ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
Это не тривиальное уравнение, которое нужно решить. Один из других, кто ответил на вопрос, передал решение 3. Если вы попробуете это, вы увидите, что это правда.
