Решите следующее уравнение в натуральных числах: x² + y² = 1997 (x-y)?

Ответ:

# (x, y) = (170, 145) # или же # (x, y) = (1817, 145) #

Объяснение:

Следующее доказательство основано на том, что в книге «Введение в диофантовы уравнения: проблемный подход» Титу Андрееску, Дорин Андрике, Ионе Кукурезеану.

Дано:

# Х ^ 2 + у ^ 2 = +1997 (х-у) #

Позволять #a = (x + y) # а также #b = (1997-х + у) #

Затем:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = Х ^ 2 + 2х + у ^ 2 + 1997 ^ 2 + х ^ 2 + у ^ 2-2 (1997 (х) + х) #

# = Х ^ 2 + 2х + у ^ 2 + 1997 ^ 2 + х ^ 2 + у ^ 2-2 (х ^ 2 + у ^ 2 + х) #

#=1997^2#

Отсюда мы находим:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

поскольку #1997# прост, # A # а также # Б # не имеют общего фактора больше #1#.

Следовательно, существуют натуральные числа #m, n # с #m> n # и нет общего фактора больше, чем #1# такой что:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} color (white) (XX) "или" color (white) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #

Смотря на # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # в моде #3# и мод #5# арифметику, находим:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (моды #3#) отсюда #m - = + -1 # а также #n - = + -1 # (моды #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (моды #5#) отсюда #m - = + -1 # а также #n - = + -1 # (моды #5#)

Это означает, что единственные возможности для #m, n # по модулю #15# являются #1, 4, 11, 14#.

Кроме того, обратите внимание, что:

# m ^ 2 в (1997/2, 1997) #

Следовательно:

#m in (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31.6, 44.7) #

Так что единственные возможности для # М # являются #34, 41, 44#

Мы нашли:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# не идеальный квадрат.

#1997 - 44^2 = 61# не идеальный квадрат.

Так # (m, n) = (34, 29) #

Так:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

или же

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#белый цвет)()#

Если # (a, b) = (1972, 315) # затем:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

и поэтому:

# (x, y) = (1817, 145) #

#белый цвет)()#

Если # (a, b) = (315, 1972) # затем:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

и поэтому:

# (x, y) = (170, 145) #