Известно, что уравнение bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 имеет один действительный корень. Докажите, что уравнение x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 не имеет реальных корней.

Известно, что уравнение bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 имеет один действительный корень. Докажите, что уравнение x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 не имеет реальных корней.
Anonim

Ответ:

Увидеть ниже.

Объяснение:

Корни для # BX ^ 2- (а-3b) х + Ь = 0 # являются

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

Корни будут совпадать и быть реальными, если

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

или же

# А = Ь # или же #a = 5b #

Сейчас решаю

# Х ^ 2 + (аb) х + (аb-Ь ^ 2 + 1) = 0 # у нас есть

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Условие для сложных корней

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

сейчас делает #a = b # или же #a = 5b # у нас есть

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Заключение, если # BX ^ 2- (а-3b) х + Ь = 0 # имеет совпадающие реальные корни тогда # Х ^ 2 + (аb) х + (аb-Ь ^ 2 + 1) = 0 # будет иметь сложные корни.

Нам дано это уравнение:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

имеет один действительный корень, поэтому дискриминант этого уравнения равен нулю:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. а = Ь #, или же # a = 5b #

Мы стремимся показать уравнение:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

не имеет настоящих корней. Это потребует отрицательного дискриминанта. Дискриминант для этого уравнения:

# Дельта = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

А теперь давайте рассмотрим два возможных случая, которые удовлетворяют первому уравнению:

Случай 1: # А = Ь #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (б) ^ 2-6 (б) б + 5б ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Случай 2: # А = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Следовательно, условия первого уравнения таковы, что второе уравнение всегда имеет отрицательный дискриминант и, следовательно, имеет сложные корни (т.е. не имеет реальных корней), QED