Ответ:
# -Xe ^ (2-х) -e ^ (2-х) + х ^ 3 + 1 + е ^ 2 #
Объяснение:
Начните с использования правила сумм для интегралов и разбейте их на два отдельных интеграла:
# Intxe ^ (2-х) ах + int3x ^ 2dx #
Первый из этих мини-интегралов решается с помощью интегрирования по частям:
Позволять # И = х -> (ди) / дх = 1-> = ди дх #
# = DV е ^ (2-х) DX-> intdv = ^ ин (2-х) DX-> v = -e ^ (2-х) #
Теперь с помощью формулы интегрирования по частям # Intudv = уф-intvdu #, у нас есть:
# Intxe ^ (2-х) ах = (х) (- е ^ (2-х)) - Int (-e ^ (2-х)) ах #
# = - х ^ (2-х) + ^ ин (2-х) ах #
# = - х ^ (2-х) -e ^ (2-х) #
Вторым из них является случай правила обратной власти, которое гласит:
# IntX ^ NDX = (х ^ (п + 1)) / (п + 1) #
Так # Int3x ^ 2dx = 3 ((х ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (х ^ 3/3) = х ^ 3 #
Следовательно, # Intxe ^ (2-х) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-х) -e ^ (2-х) + х ^ 3 + C # (не забудьте добавить константу интеграции!)
Нам дано начальное условие #f (0) = 1 #, так:
# 1 = - (0) е ^ (2- (0)) - е ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# С = 1 + е ^ 2 #
Делая эту окончательную замену, мы получаем наше окончательное решение:
# Intxe ^ (2-х) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-х) -e ^ (2-х) + х ^ 3 + 1 + е ^ 2 #
