Какова общая формула для дискриминанта многочлена степени n?

Ответ:

Смотрите объяснение …

Объяснение:

Дискриминант многочлена #f (х) # степени # П # может быть описан в терминах определителя матрицы Сильвестра #f (х) # а также #f '(х) # следующее:

Дано:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

У нас есть:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

Матрица Сильвестра #f (х) # а также #f '(х) # это # (2n-1) хх (2n-1) # Матрица формируется с использованием их коэффициентов, аналогично приведенному ниже примеру для # П = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Тогда дискриминант # Delta # дается в терминах определителя матрицы Сильвестра по формуле:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

За # П = 2 # у нас есть:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(который вы можете найти более узнаваемым в форме #Delta = b ^ 2-4ac #)

За # П = 3 # у нас есть:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

# color (white) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Дискриминанты для квадратиков (# П = 2 #) и кубики (# П = 3 #) являются наиболее полезными в том смысле, что они точно указывают, сколько реальных, повторяющихся или нереальных сложных нулей имеет многочлен.

Интерпретация дискриминанта для многочленов более высокого порядка более ограничена, но всегда обладает тем свойством, что многочлен имеет повторяющиеся нули тогда и только тогда, когда дискриминант равен нулю.

#белый цвет)()#

дальнейшее чтение

См.