Решите следующее уравнение: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

Ответ:

# Х = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, sqrt11 #

Это объяснение дает довольно углубленный метод определения шагов для нахождения возможных факторов, в которые можно переписать уравнение квадратичного типа, чтобы оно было разрешимо без квадратного уравнения и / или калькулятора.

Объяснение:

Сначала вычеркните член в левой части уравнения.

# (Х ^ 2-2) / 3 + (х ^ 2-1) ^ 2/25 = 7/9 (х ^ 2-2) #

Разверните квадрат бинома. Напомним, что # (Х ^ 2-1) ^ 2 = (х ^ 2-1) (х ^ 2-1) #.

# (Х ^ 2-2) / 3 + (х ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (х ^ 2-2) #

Мы можем очистить дроби, умножив уравнение на наименьший общий знаменатель #3,25,# а также #9,# который #225#.

Обратите внимание, что #225=3^2*5^2#, так #225/3=75#, #225/25=9#, а также #225/9=25#.

Умножение на #225# дает:

# 75 (х ^ 2-2) +9 (х ^ 4-2x ^ 2 + 1) = 25 (7) (х ^ 2-2) #

Распределите каждую мультипликативную константу.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

Переместите все члены в одну сторону и измените порядок уравнений.

# 9х ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

Это может быть факториальным: отсутствие # Х ^ 3 # а также #Икс# Термины означает, что это может быть в состоянии быть учтены в виде # (Х ^ 2 + а) (х ^ 2 + Ь) #.

Чтобы проверить на факторы, обратите внимание, что мы должны найти пару целых чисел, произведение которых является произведением первого и конечного коэффициентов, которое # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #, Те же самые целые, чей продукт #3^2*11*19# должен иметь сумму #-118#.

Поскольку произведение положительное, а сумма отрицательная, мы знаем, что оба целых числа будут положительными.

Хитрость в том, чтобы найти комбинацию чисел, которая исходит от #3^2*11*19# чья сумма #118#, (Если мы найдем положительную версию, мы можем легко переключить оба числа в их отрицательную форму.)

Мы должны попытаться придумать группы факторов из #3^2*11*19# это не превышает #118#.

Мы можем упреждающе исключить возможность #3^2*19# а также #11*19# происходит как одно из двух наших целых чисел, так как оба они больше, чем #118#, Таким образом, если мы сосредоточимся на #19# так как это самый большой фактор, мы знаем, что он будет существовать только как #19# или же #3*19#.

Итак, у нас есть только два варианта целых чисел:

# {:(bb "Integer 1", "", bb "Integer 2", "", bb "Sum"), (19, "", 3 ^ 2 * 11 = 99, "", 118), (19 * 3 = 57, "", 3 * 11 = 33, "", 90):} #

Отсюда наша пара чисел, произведение которых #3^2*11*19# и сумма #118# является #19# а также #99#.

Отсюда мы можем написать квартику как:

# 9х ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9х ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

Коэффициент по группировке:

# 9х ^ 2 (х ^ 2-11) -19 (х ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (х ^ 2-11) = 0 #

Разделите это на два уравнения:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "" x ^ 2 = 19/9 "" => "" x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "" x = + - sqrt11 #

Ответ:

Уравнения с дробями всегда выглядят хуже, чем они есть. Пока у вас есть уравнение, а не выражение, вы можете избавиться от знаменателей, умножив их на LCM знаменателей.

Объяснение:

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Давайте начнем с возведения в квадрат знаменателя во втором семестре.

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Теперь умножьте каждый член на 225, чтобы отменить знаменатели.

#cancel (225) ^ 75xx ((x ^ 2 -2)) / cancel3 + отмена (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) / cancel25 = отмена (225) ^ 25xx7 / cancel9 (x ^ 2-2) #

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

Это явно квадратичное значение, поэтому сделайте его равным 0.

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 - 175 (x ^ 2-2) = 0 #

Обратите внимание, что первое и третье термины похожи на термины, поэтому мы можем сложить их вместе. Также квадрат среднего срока.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 +1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

Снять скобки по закону распределения:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 +9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

Упростить: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

Изучение факторов 9 и 209 приводит к

9 = 3x3 или 9x1 и 209 = 11 x 19

Сочетание факторов, которое добавляет к 118, составляет 99 + 19.

Факторинг дает # (x ^ 2-11) (9x ^ 2-19) = 0 #

Если # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

Если # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #