Почему квадратный корень из 5 иррациональное число?

Ответ:

Смотрите объяснение …

Объяснение:

Вот набросок доказательства от противного:

предполагать #sqrt (5) = p / q # для некоторых натуральных чисел #п# а также # Д #.

Без ограничения общности можно предположить, что #p, q # самые маленькие такие числа.

Тогда по определению:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Умножьте оба конца на # Д ^ 2 # получить:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Так # Р ^ 2 # делится на #5#.

Тогда с #5# прост, #п# должен делиться на #5# тоже.

Так #p = 5м # для некоторого положительного целого числа # М #.

Итак, мы имеем:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5 м) ^ 2 = 5 * 5 * м ^ 2 #

Разделите оба конца на #5# получить:

# q ^ 2 = 5 м ^ 2 #

Разделите оба конца на # М ^ 2 # получить:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Так #sqrt (5) = q / m #

Сейчас #p> q> m #, так #q, m # меньшая пара целых чисел, частное #sqrt (5) #противоречит нашей гипотезе.

Итак, наша гипотеза о том, что #sqrt (5) # может быть представлен # Р / д # для некоторых целых #п# а также # Д # ложно То есть, #sqrt (5) # не рационально. То есть, #sqrt (5) # иррационально