Пусть f (x) = x-1. 1) Убедитесь, что f (x) не является ни четным, ни нечетным. 2) Можно ли записать f (x) как сумму четной функции и нечетной функции? а) Если это так, предложите решение. Есть ли еще решения? б) Если нет, докажите, что это невозможно.

Позволять #f (x) = | х -1 | #.

Если бы f были четными, то #f (-x) # будет равно #f (х) # для всех х.

Если бы f было нечетным, то #f (-x) # будет равно # -F (х) # для всех х.

Обратите внимание, что для х = 1

#f (1) = | 0 | = 0 #

#f (-1) = | -2 | = 2 #

Поскольку 0 не равно 2 или -2, f не является ни четным, ни нечетным.

Может быть написано как #g (x) + h (x) #где g четное, а h нечетное?

Если бы это было правдой, то #g (x) + h (x) = | х - 1 | #, Назовите это утверждение 1.

Заменить х на -х.

#g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | #

Так как g четное, а h нечетное, имеем:

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | # Назовите это утверждение 2.

Соединяя утверждения 1 и 2, мы видим, что

#g (x) + h (x) = | х - 1 | #

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | #

ДОБАВЬТЕ ЭТИ, чтобы получить

# 2g (x) = | х - 1 | + | -x - 1 | #

#g (x) = (| x - 1 | + | -x - 1 |) / 2 #

Это действительно даже, так как #g (-x) = (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 = g (x) #

Из заявления 1

# (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 + h (x) = | х - 1 | #

# | -x - 1 | / 2 + | x - 1 | / 2 + h (x) = | х - 1 | #

#h (x) = | х - 1 | / 2 - | -x - 1 | / 2 #

Это действительно странно, так как

#h (-x) = | -x - 1 | / 2 - | x - 1 | / 2 = -h (x) #.