Что такое lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2?

Ответ:

#lim_ (x-> oo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #

Объяснение:

Позволять # y = (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

# LNY = п ((е ^ (2x) sin (1 / х)) / х ^ 2) #

# LNY = LNE ^ (2x) + п (sin (1 / х)) - LNX ^ 2 #

# LNY = 2xlne + Ln (Sin (1 / х)) - 2lnx #

# LNY = 2х + п (Sin (1 / х)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = lim_ (x-> oo) 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (х-> оо) LNY = оо #

# Е ^ LNY = е ^ оо #

# У = оо #

Ответ:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #, Пожалуйста, смотрите раздел объяснений ниже.

Объяснение:

#lim_ (xrarroo) (е ^ (2x) sin (1 / х)) / х ^ 2 #

Обратите внимание, что: # (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #

Теперь, как # Xrarroo #первое соотношение увеличивается без ограничений, а второе #1#.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 * lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 /Икс)#

# = oo #

Дальнейшее объяснение

Вот рассуждение, которое привело к решению выше.

#lim_ (xrarroo) (е ^ (2x) sin (1 / х)) / х ^ 2 # имеет начальную форму # (Оо * 0) / оо #.

Это неопределенная форма, но мы не можем применить Правило госпиталя к этой форме.

Мы могли бы переписать это как # (Е ^ (2x)) / (х ^ 2 / sin (1 / х)) # чтобы получить форму # Оо / оо # к которому мы могли бы обратиться в госпиталь. Однако я не особо хочу брать производную от этого знаменателя.

Напомним, что #lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1 #.

Чтобы #lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 / x) = 1 #.

Это то, что мотивирует переписывание, использованное выше.

# (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #.

Как #Икс# увеличивается без ограничений, # Е ^ х # уходит в бесконечность гораздо быстрее # Х ^ 3 # (быстрее, чем любая сила #Икс#).

Так, # e ^ (2x) = (e ^ x) ^ 2 # взрывается еще быстрее.

Если у вас нет этого факта, используйте правило l'Hospital, чтобы получить

#lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 = lim_ (xrarroo) (2e ^ (2x)) / (3x ^ 2) #

# = lim_ (xrarroo) (8e ^ (2x)) / (6) = oo #