Докажите, что Cot 4x (sin 5 x + sin 3 x) = Cot x (sin 5 x - sin 3 x)?

#sin a + sin b = 2 sin ((a + b) / 2) cos ((a-b) / 2) #

#sin a - sin b = 2 sin ((a-b) / 2) cos ((a + b) / 2) #

Правая сторона:

#cot x (sin 5x - sin 3x) = детская кроватка x cdot 2 sin ((5x-3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2) #

# = cos x / sin x cdot 2 sin x cos 4x = 2 cos x cos 4x #

Левая сторона:

#cot (4x) (sin 5x + sin 3x) = детская кроватка (4x) cdot 2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x-3x) / 2) #

# = {cos 4x} / {sin 4x} cdot 2 sin 4x cos x = 2 cos x cos 4 x #

Они равны #quad sqrt #

Ответ:

Формула фактора (тождество суммы к продукту и продукта к сумме)

Объяснение:

Для этого вопроса мы можем использовать Сумма к продукту а также Продукт-на-Sum идентичностей.

Я ленивый, так вот картина личности.

Приведенная выше формула произведения к сумме может быть получена посредством составных угловых тождеств

Использование подстановки #alpha = a + b # а также #beta = a - b #, мы можем получить следующие формулы произведения к сумме.

Итак, теперь, когда мы с этим разобрались, давайте применим наши формулы.

#cot (4x) (sin (5x) + sin (3x)) = cos (4x) / sin (4x) (2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x - 3x) / 2)) = cos (4x) / sin (4x) (2sin (4x) cos (x)) = 2cos (4x) cos (x) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = кроватка (х) (грех (4х + х) - грех (4х - х)) = кроватка (х) (грех (5х) - грех (3х)) #

В качестве альтернативы вы можете также применить формулу суммы к произведению справа:

#cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) = cos (x) / sin (x) (2 cos ((5x + 3x) / 2) sin ((5x - 3x) / 2)) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = 2cos (4x) sin (x) = LHS. #

# QED #