Докажите, что: -cot ^ -1 (тета) = cos ^ -1 (тета) / 1 + (тета) ²?

Позволять #cot ^ (- 1) тета = A # затем

# RarrcotA = тета #

# RarrtanA = 1 / тета #

# RarrcosA = 1 / Seca = 1 / SQRT (1 + загар ^ 2A) = 1 / SQRT (1+ (1 / тета) ^ 2) #

# RarrcosA = 1 / SQRT ((1 + тета ^ 2) / тета ^ 2) = тета / SQRT (1 + тета- ^ 2) #

# RarrA = соз ^ (- 1) (тета / (SQRT (1 + тета- ^ 2))) = раскладушка ^ (- 1) (тета) #

#rarrthereforecot ^ (- 1) (тета) = соз ^ (- 1) (тета / (SQRT (1 + тета- ^ 2))) #

Найти значение тета, если Cos (тета) / 1 - грех (тета) + cos (тета) / 1 + грех (тета) = 4?

Тета = пи / 3 или 60 ^ @ Хорошо. У нас есть: costheta / (1-sintheta) + costheta / (1 + sintheta) = 4 Давайте пока проигнорируем RHS. Costheta / (1-sintheta) + Costheta / (1 + Sintheta) (Costheta (1 + Sintheta) + Costheta (1-Sintheta)) / ((1-Sintheta) (1 + Sintheta)) (Costheta ((1-Sintheta) ) + (1 + sintheta))) / (1-sin ^ 2theta) (costheta (1-sintheta + 1 + sintheta)) / (1-sin ^ 2theta) (2costheta) / (1-sin ^ 2theta) Согласно Пифагорейская идентичность, грех ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1. Итак: cos ^ 2theta = 1-sin ^ 2theta Теперь, когда мы знаем это, мы можем написать: (2costheta) / cos ^ 2theta 2 / costheta = 4 costheta / 2

Каков угол наклона полярной кривой f (тета) = тета-сек ^ 3-тета + тетазин-3-тета в тета = (5pi) / 8?

Dy / dx = -0,54 Для полярной функции f (тета) dy / dx = (f '(тета) синтета + f (тета) стохета) / (f' (тета) стохета-f (тета) синтета) f ( тета) = тета-сек ^ 3-тета + тетазин ^ 3-тета f '(тэта) = 1-3 (с ^ 2-тета) (д / дх [секта]) - грех f '(тета) = 1-3 с ^ 3 thetatantheta-sin ^ 3theta + 3 thetasin ^ 2 thetacostheta f' ((5pi) / 3) = 1-3sec ^ 3 ((5pi) / 3) tan ((5pi) / 3) - sin ^ 3 ((5pi) / 3) +3 ((5pi) / 3) sin ^ 2 ((5pi) / 3) cos ((5pi) / 3) ~~ -9,98 f ((5pi) / 3) = ((5pi) / 3) -sec ^ 3 ((5pi) / 3) + ((5pi) / 3) sin ^ 3 ((5pi) / 3) ~~ -6,16 dy / dx = (- 9,98sin (( 5pi) / 3) -6.16cos ((5pi) / 3)) / (- 9.9

Каково уравнение линии, которая является нормальной для полярной кривой f (тета) = - 5 тета-син ((3-тета) / 2-пи / 3) + tan ((тета) / 2-пи / 3) при тета = число Пи?

Линия имеет вид y = (6 - 60pi + 4 кв. (3)) / (9 кв. (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9 кв. (3) - 52) Этот бегемот уравнения выводится через несколько длительный процесс. Сначала я опишу шаги, по которым будет происходить деривация, а затем выполню эти шаги. Нам дана функция в полярных координатах f (тета). Мы можем взять производную, f '(тета), но для того, чтобы действительно найти линию в декартовых координатах, нам понадобится dy / dx. Мы можем найти dy / dx, используя следующее уравнение: dy / dx = (f '(тета) sin (тета) + f (тета) cos (тета)) / (f' (тета) cos (тета) - f ( theta) sin (theta)) З