Каково уравнение линии, которая является нормальной для полярной кривой f (тета) = - 5 тета-син ((3-тета) / 2-пи / 3) + tan ((тета) / 2-пи / 3) при тета = число Пи?

Ответ:

Линия #y = (6 - 60pi + 4 кв. (3)) / (9 кв. (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9 кв. (3) - 52) #

Объяснение:

Это чудовище уравнения получено через довольно длительный процесс. Сначала я опишу шаги, по которым будет происходить деривация, а затем выполню эти шаги.

Нам дана функция в полярных координатах, #f (тета) #, Мы можем взять производную, #f '(тета) #, но для того, чтобы на самом деле найти линию в декартовых координатах, нам понадобится # Ду / дх #.

Мы можем найти # Ду / дх # используя следующее уравнение:

# dy / dx = (f '(тета) sin (тета) + f (тета) cos (тета)) / (f' (тета) cos (тета) - f (тета) sin (тета)) #

Затем мы вставим этот уклон в стандартную форму декартовой линии:

#y = mx + b #

И вставьте декартово преобразованные полярные координаты нашей точки интереса:

#x = f (тета) cos (тета) #

#y = f (тета) грех (тета) #

Несколько вещей, которые должны быть сразу очевидны и сэкономят нам время. Мы берем прямую, касательную к точке #theta = pi #, Это означает, что #sin (theta) = 0 # так…

1) Наше уравнение для # Ду / дх # на самом деле будет:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) Наши уравнения для декартовых координат нашей точки станут:

#x = -f (тета) #

#y = 0 #

Начиная фактически решать проблему, тогда наш первый заказ бизнеса находит #f '(тета) #, Это не сложно, всего три простых производных с правилом цепочки, примененных к двум:

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 sec ^ 2 (theta / 2 - pi / 3) #

Теперь мы хотим знать #f (р) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

А также #f '(р) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 sec ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

Имея это в виду, мы готовы определить наш уклон:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

Мы можем подключить это как # М # в #y = mx + b #, Напомним, что мы ранее определили, что # У = 0 # а также #x = -f (тета) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

Мы можем объединить наши ранее определенные # М # с нашим недавно определенным # Б # дать уравнение для линии:

#y = (6 - 60pi + 4 кв. (3)) / (9 кв. (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9 кв. (3) - 52) #