Какова площадь равностороннего треугольника, вершины которого лежат на окружности с радиусом 2?

Ответ:

# 3 * SQRT (3) ~ = 5,196 #

Объяснение:

Обратитесь к рисунку ниже

Фигура представляет собой равносторонний треугольник, вписанный в круг, где # S # обозначает стороны треугольника, #час# обозначает высоту треугольника, и #Р# обозначает радиус круга.

Мы видим, что треугольники ABE, ACE и BCE являются конгруэнтными, поэтому мы можем сказать, что угол #E hat C D = (A hat C D) / 2 = 60 ^ @ / 2 = 30 ^ @ #.

Мы можем видеть в #triangle_ (CDE) # тот

#cos 30 ^ @ = (s / 2) / R # => # s = 2 * R * cos 30 ^ @ = отменить (2) * R * sqrt (3) / отменить (2) # => # S = SQRT (3) * R #

В #triangle_ (ACD) # мы не можем видеть это

#tan 60 ^ @ = h / (s / 2) # => # h = s * загар 60 ^ @ / 2 # => # ч = SQRT (3) / 2 * S = SQRT (3) / 2 * SQRT (3) * R # => # H = (3R) / 2 #

Из формулы площади треугольника:

# S_triangle = (основание * высота) / 2 #

Мы получаем

# S_triangle = (ы * ч) / 2 = (SQRT (3) R * (3R) / 2) / 2 = (3 * SQRT (3) * R ^ 2) / 4 = (3 * SQRT (3) * отменить (2 ^ 2)) / отменить (4) = 3 * SQRT (3) #