Рассмотрим 3 равные окружности радиуса r внутри заданной окружности радиуса R, каждая из которых касается двух других и данной окружности, как показано на рисунке, тогда площадь заштрихованной области равна?

Мы можем сформировать выражение для области заштрихованной области следующим образом:

#A_ "shaded" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "center" #

где #A_ "центр" # площадь небольшого участка между тремя меньшими кругами.

Чтобы найти область этого, мы можем нарисовать треугольник, соединив центры трех меньших белых кружков. Так как каждый круг имеет радиус #р#длина каждой стороны треугольника # 2г # и треугольник равносторонний, так что есть углы # 60 ^ о # каждый.

Таким образом, мы можем сказать, что угол центральной области - это площадь этого треугольника за вычетом трех секторов круга. Высота треугольника просто #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #Таким образом, площадь треугольника # 1/2 * base * height = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Площадь трех круговых сегментов в этом треугольнике, по существу, равна площади одного из кругов (из-за наличия углов # 60 ^ о # каждый или #1/6# круг, поэтому мы можем вывести общую площадь этих секторов, чтобы быть # 1/2 пир ^ 2 #.

Наконец, мы можем определить площадь центральной области, которая будет #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Таким образом, возвращаясь к нашему первоначальному выражению, область затененной области

# PIR ^ 2-3pir ^ 2-г ^ 2 (SQRT (3) -pi / 2) #

Ответ:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 кв. (3) - 1) пи - кв. (3)) #

Объяснение:

Давайте дадим белым кружкам радиус # Г = 1 #, Центры образуют равносторонний треугольник стороны #2#, Каждая средняя / высота #sqrt {3} # поэтому расстояние от вершины до центроида # 2/3 sqrt {3} #.

Центроид - это центр большого круга, так что это расстояние между центром большого круга и центром маленького круга. Добавим маленький радиус # Г = 1 # получить

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Область, которую мы ищем, это площадь большого круга, за исключением равностороннего треугольника и оставшихся #5/6# каждого маленького круга.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 кв. (3) - 1) пи - кв. (3) #

Мы масштабируем по # Г ^ 2 # в общем.