Что является обратным к f (x) = -ln (arctan (x))?

Ответ:

# f ^ -1 (x) = загар (e ^ -x) #

Объяснение:

Типичный способ найти обратную функцию - установить #y = f (x) # а затем решить для #Икс# чтобы получить #x = f ^ -1 (y) #

Применяя это здесь, мы начнем с

#y = -ln (arctan (x)) #

# => -y = ln (arctan (x)) #

# => e ^ -y = e ^ (ln (arctan (x))) = arctan (x) # (по определению # LN #)

# => tan (e ^ -y) = tan (arctan (x)) = x # (по определению # Агс #)

Таким образом, мы имеем # f ^ -1 (x) = загар (e ^ -x) #

Если мы хотим подтвердить это через определение # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = x #

помни это #y = f (x) # так что у нас уже есть

# f ^ -1 (y) = f ^ -1 (f (x)) = x #

Для обратного направления, #f (f ^ -1 (x)) = -ln (arctan (tan (e ^ -x)) #

# => f (f ^ -1 (x)) = -ln (e ^ -x) #

# => f (f ^ -1 (x)) = - (- x * ln (e)) = - (- x * 1) #

# => f (f ^ -1 (x)) = x #